MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsplit2 Structured version   Unicode version

Theorem gsumsplit2 15523
Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsplit2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsplit2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumsplit2.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumsplit2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumsplit2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumsplit2.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumsplit2.w  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
gsumsplit2.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
gsumsplit2.u  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
Assertion
Ref Expression
gsumsplit2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  D  |->  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    C, k    D, k    ph, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    G( k)    V( k)    X( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsumsplit2
StepHypRef Expression
1 gsumsplit2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumsplit2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsumsplit2.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsumsplit2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsumsplit2.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 gsumsplit2.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
7 eqid 2435 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  A  |->  X )
86, 7fmptd 5885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) : A --> B )
9 gsumsplit2.w . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
10 gsumsplit2.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
11 gsumsplit2.u . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11gsumsplit 15522 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  X )  |`  C )
)  .+  ( G  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  X )  |`  D ) ) ) )
13 ssun1 3502 . . . . . 6  |-  C  C_  ( C  u.  D
)
1413, 11syl5sseqr 3389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
15 resmpt 5183 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  X )  |`  C )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  X )  |`  C )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
1716oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  X )  |`  C ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) )
18 ssun2 3503 . . . . . 6  |-  D  C_  ( C  u.  D
)
1918, 11syl5sseqr 3389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
20 resmpt 5183 . . . . 5  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  X )  |`  D )  =  ( k  e.  D  |->  X ) )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  X )  |`  D )  =  ( k  e.  D  |->  X ) )
2221oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  X )  |`  D ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  D  |->  X ) ) )
2317, 22oveq12d 6091 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  X )  |`  C )
)  .+  ( G  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  X )  |`  D ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  D  |->  X ) ) ) )
2412, 23eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  D  |->  X ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869    |` cres 4872   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716  CMndccmn 15404
This theorem is referenced by:  gsumunsn  15536  tdeglem4  19975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-cntz 15108  df-cmn 15406
  Copyright terms: Public domain W3C validator