Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsub Unicode version

Theorem gsumsub 15318
 Description: The difference of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsub.b
gsumsub.z
gsumsub.m
gsumsub.g
gsumsub.a
gsumsub.f
gsumsub.h
gsumsub.fn
gsumsub.hn
Assertion
Ref Expression
gsumsub g g g

Proof of Theorem gsumsub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumsub.b . . . 4
2 gsumsub.z . . . 4
3 eqid 2358 . . . 4
4 gsumsub.g . . . . 5
5 ablcmn 15194 . . . . 5 CMnd
64, 5syl 15 . . . 4 CMnd
7 gsumsub.a . . . 4
8 gsumsub.f . . . 4
9 eqid 2358 . . . . . . 7
10 ablgrp 15193 . . . . . . . 8
114, 10syl 15 . . . . . . 7
121, 9, 11grpinvf1o 14637 . . . . . 6
13 f1of 5555 . . . . . 6
1412, 13syl 15 . . . . 5
15 gsumsub.h . . . . 5
16 fco 5481 . . . . 5
1714, 15, 16syl2anc 642 . . . 4
18 gsumsub.fn . . . 4
19 gsumsub.hn . . . . 5
20 eldifi 3374 . . . . . . . 8
21 fvco3 5679 . . . . . . . 8
2215, 20, 21syl2an 463 . . . . . . 7
23 ssid 3273 . . . . . . . . . . 11
2423a1i 10 . . . . . . . . . 10
2515, 24suppssr 5742 . . . . . . . . 9
2625fveq2d 5612 . . . . . . . 8
272, 9grpinvid 14632 . . . . . . . . . 10
2811, 27syl 15 . . . . . . . . 9
2928adantr 451 . . . . . . . 8
3026, 29eqtrd 2390 . . . . . . 7
3122, 30eqtrd 2390 . . . . . 6
3217, 31suppss 5741 . . . . 5
33 ssfi 7171 . . . . 5
3419, 32, 33syl2anc 642 . . . 4
351, 2, 3, 6, 7, 8, 17, 18, 34gsumadd 15304 . . 3 g g g
361, 2, 9, 4, 7, 15, 19gsuminv 15317 . . . 4 g g
3736oveq2d 5961 . . 3 g g g g
3835, 37eqtrd 2390 . 2 g g g
39 ffvelrn 5746 . . . . . . 7
408, 39sylan 457 . . . . . 6
41 ffvelrn 5746 . . . . . . 7
4215, 41sylan 457 . . . . . 6
43 gsumsub.m . . . . . . 7
441, 3, 9, 43grpsubval 14624 . . . . . 6
4540, 42, 44syl2anc 642 . . . . 5
4645mpteq2dva 4187 . . . 4
478feqmptd 5658 . . . . 5
4815feqmptd 5658 . . . . 5
497, 40, 42, 47, 48offval2 6182 . . . 4
50 fvex 5622 . . . . . 6
5150a1i 10 . . . . 5
5214feqmptd 5658 . . . . . 6
53 fveq2 5608 . . . . . 6
5442, 48, 52, 53fmptco 5774 . . . . 5
557, 40, 51, 47, 54offval2 6182 . . . 4
5646, 49, 553eqtr4d 2400 . . 3
5756oveq2d 5961 . 2 g g
581, 2, 6, 7, 8, 18gsumcl 15297 . . 3 g
591, 2, 6, 7, 15, 19gsumcl 15297 . . 3 g
601, 3, 9, 43grpsubval 14624 . . 3 g g g g g g
6158, 59, 60syl2anc 642 . 2 g g g g
6238, 57, 613eqtr4d 2400 1 g g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  cvv 2864   cdif 3225   wss 3228  csn 3716   cmpt 4158  ccnv 4770  cima 4774   ccom 4775  wf 5333  wf1o 5336  cfv 5337  (class class class)co 5945   cof 6163  cfn 6951  cbs 13245   cplusg 13305  c0g 13499   g cgsu 13500  cgrp 14461  cminusg 14462  csg 14464  CMndccmn 15188  cabel 15189 This theorem is referenced by:  tsmsxplem2  17938 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-hash 11431  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-mnd 14466  df-mhm 14514  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-ghm 14780  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-abl 15191
 Copyright terms: Public domain W3C validator