MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubgcl Structured version   Unicode version

Theorem gsumsubgcl 15517
Description: Closure of a group sum in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubgcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumsubgcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
gsumsubgcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumsubgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
gsumsubgcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
gsumsubgcl.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumsubgcl  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  S
)

Proof of Theorem gsumsubgcl
StepHypRef Expression
1 gsumsubgcl.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
2 gsumsubgcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
3 ablcmn 15410 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsumsubgcl.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 gsumsubgcl.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
7 subgsubm 14954 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
9 gsumsubgcl.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
10 gsumsubgcl.w . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
111, 4, 5, 8, 9, 10gsumsubmcl 15516 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309   {csn 3806   `'ccnv 4869   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716  SubMndcsubmnd 14729  SubGrpcsubg 14930  CMndccmn 15404   Abelcabel 15405
This theorem is referenced by:  mplbas2  16523  jensenlem2  20818  amgmlem  20820  frlmsslsp  27216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407
  Copyright terms: Public domain W3C validator