MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubgcl Unicode version

Theorem gsumsubgcl 15445
Description: Closure of a group sum in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubgcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumsubgcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
gsumsubgcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumsubgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
gsumsubgcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
gsumsubgcl.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumsubgcl  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  S
)

Proof of Theorem gsumsubgcl
StepHypRef Expression
1 gsumsubgcl.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
2 gsumsubgcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
3 ablcmn 15338 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsumsubgcl.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 gsumsubgcl.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
7 subgsubm 14882 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
9 gsumsubgcl.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
10 gsumsubgcl.w . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
111, 4, 5, 8, 9, 10gsumsubmcl 15444 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    \ cdif 3253   {csn 3750   `'ccnv 4810   "cima 4814   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   0gc0g 13643    gsumg cgsu 13644  SubMndcsubmnd 14657  SubGrpcsubg 14858  CMndccmn 15332   Abelcabel 15333
This theorem is referenced by:  mplbas2  16451  jensenlem2  20686  amgmlem  20688  frlmsslsp  26910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-subg 14861  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-abl 15335
  Copyright terms: Public domain W3C validator