MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubm Unicode version

Theorem gsumsubm 14737
Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumsubm.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
gsumsubm.f  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
gsumsubm.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
gsumsubm  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( H  gsumg  F ) )

Proof of Theorem gsumsubm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . 2  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2408 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 gsumsubm.h . 2  |-  H  =  ( Gs  S )
4 gsumsubm.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
5 submrcl 14706 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
7 gsumsubm.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
81submss 14709 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
94, 8syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
10 gsumsubm.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
11 eqid 2408 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
1211subm0cl 14711 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
134, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  S )
141, 2, 11mndlrid 14674 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  =  x ) )
156, 14sylan 458 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  =  x ) )
161, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15gsumress 14736 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( H  gsumg  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3284   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428   ↾s cress 13429   +g cplusg 13488   0gc0g 13682    gsumg cgsu 13683   Mndcmnd 14643  SubMndcsubmnd 14696
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  15482  resspsrmul  16439  tsmssubm  18129  amgmlem  20785  lgseisenlem4  21093
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-seq 11283  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-mnd 14649  df-submnd 14698
  Copyright terms: Public domain W3C validator