MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumunsn Unicode version

Theorem gsumunsn 15237
Description: Append an element to a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumunsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumunsn.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumunsn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumunsn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumunsn.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumunsn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumunsn.d  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
gsumunsn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumunsn.s  |-  ( k  =  M  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumunsn  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem gsumunsn
StepHypRef Expression
1 gsumunsn.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumunsn.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsumunsn.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsumunsn.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 snfi 6957 . . . 4  |-  { M }  e.  Fin
7 unfi 7140 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { M }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { M } )  e. 
Fin )
85, 6, 7sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  e.  Fin )
9 elun 3329 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )
10 gsumunsn.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
11 elsni 3677 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
12 gsumunsn.s . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  X  =  Y )
1311, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { M }  ->  X  =  Y )
1413adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  =  Y )
15 gsumunsn.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  Y  e.  B )
1714, 16eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  e.  B )
1810, 17jaodan 760 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
199, 18sylan2b 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
20 cnvimass 5049 . . . . 5  |-  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
21 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
2221dmmptss 5185 . . . . 5  |-  dom  (
k  e.  ( A  u.  { M }
)  |->  X )  C_  ( A  u.  { M } )
2320, 22sstri 3201 . . . 4  |-  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  ( A  u.  { M } )
24 ssfi 7099 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  { M } )  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  ( A  u.  { M } ) )  -> 
( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
258, 23, 24sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
26 gsumunsn.d . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
27 disjsn 3706 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  A )
2826, 27sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { M } )  =  (/) )
29 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  =  ( A  u.  { M } ) )
301, 2, 3, 4, 8, 19, 25, 28, 29gsumsplit2 15224 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
31 cmnmnd 15120 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
324, 31syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
33 gsumunsn.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
341, 12gsumsn 15236 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  Y  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
3532, 33, 15, 34syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
3635oveq2d 5890 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
3730, 36eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377  CMndccmn 15105
This theorem is referenced by:  gsum2d  15239  mplcoe1  16225  mplcoe2  16227  imasdsf1olem  17953  jensenlem1  20297  jensenlem2  20298  wilthlem2  20323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107
  Copyright terms: Public domain W3C validator