MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumunsn Unicode version

Theorem gsumunsn 15221
Description: Append an element to a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumunsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumunsn.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumunsn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumunsn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumunsn.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumunsn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumunsn.d  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
gsumunsn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumunsn.s  |-  ( k  =  M  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumunsn  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem gsumunsn
StepHypRef Expression
1 gsumunsn.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumunsn.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsumunsn.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsumunsn.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 snfi 6941 . . . 4  |-  { M }  e.  Fin
7 unfi 7124 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { M }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { M } )  e. 
Fin )
85, 6, 7sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  e.  Fin )
9 elun 3316 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )
10 gsumunsn.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
11 elsni 3664 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
12 gsumunsn.s . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  X  =  Y )
1311, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { M }  ->  X  =  Y )
1413adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  =  Y )
15 gsumunsn.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  Y  e.  B )
1714, 16eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  e.  B )
1810, 17jaodan 760 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
199, 18sylan2b 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
20 cnvimass 5033 . . . . 5  |-  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
21 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
2221dmmptss 5169 . . . . 5  |-  dom  (
k  e.  ( A  u.  { M }
)  |->  X )  C_  ( A  u.  { M } )
2320, 22sstri 3188 . . . 4  |-  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  ( A  u.  { M } )
24 ssfi 7083 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  { M } )  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  ( A  u.  { M } ) )  -> 
( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
258, 23, 24sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
26 gsumunsn.d . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
27 disjsn 3693 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  A )
2826, 27sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { M } )  =  (/) )
29 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  =  ( A  u.  { M } ) )
301, 2, 3, 4, 8, 19, 25, 28, 29gsumsplit2 15208 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
31 cmnmnd 15104 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
324, 31syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
33 gsumunsn.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
341, 12gsumsn 15220 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  Y  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
3532, 33, 15, 34syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
3635oveq2d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
3730, 36eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  CMndccmn 15089
This theorem is referenced by:  gsum2d  15223  mplcoe1  16209  mplcoe2  16211  imasdsf1olem  17937  jensenlem1  20281  jensenlem2  20282  wilthlem2  20307
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091
  Copyright terms: Public domain W3C validator