MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumunsn Structured version   Unicode version

Theorem gsumunsn 15546
Description: Append an element to a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumunsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumunsn.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumunsn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumunsn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumunsn.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumunsn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumunsn.d  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
gsumunsn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumunsn.s  |-  ( k  =  M  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumunsn  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem gsumunsn
StepHypRef Expression
1 gsumunsn.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumunsn.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsumunsn.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsumunsn.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 snfi 7189 . . . 4  |-  { M }  e.  Fin
7 unfi 7376 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { M }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { M } )  e. 
Fin )
85, 6, 7sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  e.  Fin )
9 elun 3490 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )
10 gsumunsn.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
11 elsni 3840 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
12 gsumunsn.s . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  X  =  Y )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { M }  ->  X  =  Y )
1413adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  =  Y )
15 gsumunsn.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1615adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  Y  e.  B )
1714, 16eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  X  e.  B )
1810, 17jaodan 762 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
199, 18sylan2b 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { M } ) )  ->  X  e.  B )
20 cnvimass 5226 . . . . 5  |-  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
21 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )  =  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
2221dmmptss 5368 . . . . 5  |-  dom  (
k  e.  ( A  u.  { M }
)  |->  X )  C_  ( A  u.  { M } )
2320, 22sstri 3359 . . . 4  |-  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  ( A  u.  { M } )
24 ssfi 7331 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  { M } )  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  ( A  u.  { M } ) )  -> 
( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
258, 23, 24sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
26 gsumunsn.d . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  A
)
27 disjsn 3870 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  A )
2826, 27sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { M } )  =  (/) )
29 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { M } )  =  ( A  u.  { M } ) )
301, 2, 3, 4, 8, 19, 25, 28, 29gsumsplit2 15533 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
31 cmnmnd 15429 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
324, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
33 gsumunsn.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
341, 12gsumsn 15545 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  Y  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
3532, 33, 15, 34syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
3635oveq2d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
3730, 36eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  u.  { M } )  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .+  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   "cima 4883   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725    gsumg cgsu 13726   Mndcmnd 14686  CMndccmn 15414
This theorem is referenced by:  gsum2d  15548  mplcoe1  16530  mplcoe2  16532  imasdsf1olem  18405  jensenlem1  20827  jensenlem2  20828  wilthlem2  20854
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416
  Copyright terms: Public domain W3C validator