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Theorem gsumval2 14559
Description: Value of the group sum operation over a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumval2.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumval2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
gsumval2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
gsumval2.f  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> B )
Assertion
Ref Expression
gsumval2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )

Proof of Theorem gsumval2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2358 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumval2.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2358 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }
5 gsumval2.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  G  e.  V )
7 ovex 5970 . . . . 5  |-  ( M ... N )  e. 
_V
87a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( M ... N
)  e.  _V )
9 gsumval2.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> B )
10 ffn 5472 . . . . . . 7  |-  ( F : ( M ... N ) --> B  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
119, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
1211adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F  Fn  ( M ... N ) )
13 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
14 df-f 5341 . . . . 5  |-  ( F : ( M ... N ) --> { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  <->  ( F  Fn  ( M ... N )  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } ) )
1512, 13, 14sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F : ( M ... N ) --> { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
161, 2, 3, 4, 6, 8, 15gsumval1 14555 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  ( 0g `  G ) )
17 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y )  ->  ( x  .+  y )  =  y )
1817ralimi 2694 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y )  ->  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y )
1918a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y )  ->  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y ) )
2019ss2rabi 3331 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
x  .+  y )  =  y }
21 fvex 5622 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
2221snid 3743 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
{ ( 0g `  G ) }
23 fdm 5476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( M ... N ) --> B  ->  dom  F  =  ( M ... N ) )
249, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( M ... N ) )
25 gsumval2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
26 eluzfz1 10895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
27 ne0i 3537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =/=  (/) )
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =/=  (/) )
2924, 28eqnetrd 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =/=  (/) )
30 dm0rn0 4977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
F  =  (/)  <->  ran  F  =  (/) )
3130necon3bii 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
F  =/=  (/)  <->  ran  F  =/=  (/) )
3229, 31sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  =/=  (/) )
3332adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  ran  F  =/=  (/) )
34 ssn0 3563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  /\  ran  F  =/=  (/) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =/=  (/) )
3513, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =/=  (/) )
3635neneqd 2537 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  -.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  (/) )
371, 2, 3, 4gsumvallem1 14547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  V  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
385, 37syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
39 sssn 3853 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) }  <->  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  (/)  \/  {
x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } ) )
4038, 39sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) }  =  (/)  \/  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  { ( 0g `  G ) } ) )
4140orcanai 879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } )
4236, 41syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  =  {
( 0g `  G
) } )
4322, 42syl5eleqr 2445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( 0g `  G
)  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
4420, 43sseldi 3254 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( 0g `  G
)  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
x  .+  y )  =  y } )
45 oveq1 5952 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  .+  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  y ) )
4645eqeq1d 2366 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( x  .+  y
)  =  y  <->  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
4746ralbidv 2639 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y  <->  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
4847elrab 2999 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y }  <->  ( ( 0g
`  G )  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G )  .+  y )  =  y ) )
49 oveq2 5953 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( 0g `  G ) ) )
50 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  y  =  ( 0g `  G ) )
5149, 50eqeq12d 2372 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y  <->  ( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
5251rspcva 2958 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( ( 0g `  G
)  .+  y )  =  y )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
5348, 52sylbi 187 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( x  .+  y )  =  y }  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
5444, 53syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
5525adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5638ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) }  C_  { ( 0g `  G ) } )
57 ffvelrn 5746 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) }  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )
5815, 57sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  e.  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )
5956, 58sseldd 3257 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  e.  { ( 0g `  G ) } )
60 elsni 3740 . . . . 5  |-  ( ( F `  z )  e.  { ( 0g
`  G ) }  ->  ( F `  z )  =  ( 0g `  G ) )
6159, 60syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ran  F 
C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( (
x  .+  y )  =  y  /\  (
y  .+  x )  =  y ) } )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  z )  =  ( 0g `  G ) )
6254, 55, 61seqid3 11182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  N )  =  ( 0g `  G ) )
6316, 62eqtr4d 2393 . 2  |-  ( (
ph  /\  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )
645adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  G  e.  V )
6525adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
669adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  F : ( M ... N ) --> B )
67 simpr 447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  ->  -.  ran  F  C_  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .+  y
)  =  y  /\  ( y  .+  x
)  =  y ) } )
681, 3, 64, 65, 66, 4, 67gsumval2a 14558 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ran  F  C_ 
{ x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  =  y  /\  ( y  .+  x )  =  y ) } )  -> 
( G  gsumg  F )  =  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )
6963, 68pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   {crab 2623   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   (/)c0 3531   {csn 3716   dom cdm 4771   ran crn 4772    Fn wfn 5332   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   ZZ>=cuz 10322   ...cfz 10874    seq cseq 11138   Basecbs 13245   +g cplusg 13305   0gc0g 13499    gsumg cgsu 13500
This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  14560  gsumws1  14561  gsumccat  14563  gsumwmhm  14566  gsumval3  15290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-seq 11139  df-0g 13503  df-gsum 13504
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