Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval3a Unicode version

Theorem gsumval3a 15189
 Description: Value of the group sum operation over an index set with finite support. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b
gsumval3.0
gsumval3.p
gsumval3.z Cntz
gsumval3.g
gsumval3.a
gsumval3.f
gsumval3.c
gsumval3a.t
gsumval3a.n
gsumval3a.w
gsumval3a.i
Assertion
Ref Expression
gsumval3a g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem gsumval3a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3.b . . 3
2 gsumval3.0 . . 3
3 gsumval3.p . . 3
4 eqid 2283 . . 3
5 gsumval3.g . . . . . . 7
61, 2, 3, 4gsumvallem2 14449 . . . . . . 7
75, 6syl 15 . . . . . 6
87difeq2d 3294 . . . . 5
98imaeq2d 5012 . . . 4
10 gsumval3a.w . . . 4
119, 10syl6reqr 2334 . . 3
12 gsumval3.a . . 3
13 gsumval3.f . . 3
141, 2, 3, 4, 11, 5, 12, 13gsumval 14452 . 2 g
15 gsumval3a.n . . . 4
167sseq2d 3206 . . . . . 6
17 ffn 5389 . . . . . . . . . . . 12
1813, 17syl 15 . . . . . . . . . . 11
1918adantr 451 . . . . . . . . . 10
20 simpr 447 . . . . . . . . . 10
21 df-f 5259 . . . . . . . . . 10
2219, 20, 21sylanbrc 645 . . . . . . . . 9
23 disjdif 3526 . . . . . . . . 9
24 fimacnvdisj 5419 . . . . . . . . 9
2522, 23, 24sylancl 643 . . . . . . . 8
2610, 25syl5eq 2327 . . . . . . 7
2726ex 423 . . . . . 6
2816, 27sylbid 206 . . . . 5
2928necon3ad 2482 . . . 4
3015, 29mpd 14 . . 3
31 iffalse 3572 . . 3
3230, 31syl 15 . 2
33 gsumval3a.i . . 3
34 iffalse 3572 . . 3
3533, 34syl 15 . 2
3614, 32, 353eqtrd 2319 1 g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  crab 2547  cvv 2788   cdif 3149   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cif 3565  csn 3640  ccnv 4688   crn 4690  cima 4692   ccom 4693  cio 5217   wfn 5250  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  c1 8738  cuz 10230  cfz 10782   cseq 11046  chash 11337  cbs 13148   cplusg 13208  c0g 13400   g cgsu 13401  cmnd 14361  Cntzccntz 14791 This theorem is referenced by:  gsumval3  15191 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seq 11047  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367
 Copyright terms: Public domain W3C validator