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Theorem gsumval3eu 15206
Description: The group sum as defined in gsumval3a 15205 is uniquely defined. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumval3.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumval3.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumval3.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumval3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumval3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumval3.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumval3.c  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumval3a.t  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
gsumval3a.n  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
gsumval3a.s  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
Assertion
Ref Expression
gsumval3eu  |-  ( ph  ->  E! x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f,  .+    A, f, x    ph, f, x    x,  .0.    f, G, x   
x, V    B, f, x    f, F, x    f, W, x
Allowed substitution hints:    V( f)    .0. ( f)    Z( x, f)

Proof of Theorem gsumval3eu
Dummy variables  g 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3a.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
21neneqd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  W  =  (/) )
3 gsumval3a.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
4 fz1f1o 12199 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( W  =  (/)  \/  (
( # `  W )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  \/  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
65ord 366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  W  =  (/)  ->  ( ( # `  W )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
72, 6mpd 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
87simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
9 excom 1798 . . . 4  |-  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) ) )
10 exancom 1576 . . . . . 6  |-  ( E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. x
( x  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )
11 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  e.  _V
12 biidd 228 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq  1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  ->  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  <->  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
1311, 12ceqsexv 2836 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) )  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  <->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
1410, 13bitri 240 . . . . 5  |-  ( E. x ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
1514exbii 1572 . . . 4  |-  ( E. f E. x ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
169, 15bitri 240 . . 3  |-  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
178, 16sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  E. x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
18 eeanv 1866 . . . 4  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  g ) ) `
 ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
19 an4 797 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  /\  (
x  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) )  <->  ( (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
20 gsumval3.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
2120adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  G  e.  Mnd )
22 gsumval3.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
23 gsumval3.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2422, 23mndcl 14388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
25243expb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
2621, 25sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
27 gsumval3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  ( Z `  ran  F ) )
2928sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ran  F )  ->  x  e.  ( Z `  ran  F ) )
3029adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  x  e.  ( Z `  ran  F ) )
31 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  y  e.  ran  F )
32 gsumval3.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  (Cntz `  G )
3323, 32cntzi 14821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 ran  F )  /\  y  e.  ran  F )  ->  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
3430, 31, 33syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  ran  F  /\  y  e.  ran  F ) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
3522, 23mndass 14389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
3621, 35sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
377simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
3837adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
39 nnuz 10279 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4038, 39syl6eleq 2386 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
41 gsumval3.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
4241adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F : A --> B )
43 frn 5411 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  B )
45 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
46 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  `' g : W -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
48 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )
49 f1oco 5512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' g : W -1-1-onto-> (
1 ... ( # `  W
) )  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
5047, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
51 f1of 5488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  g :
( 1 ... ( # `
 W ) ) --> W )
5245, 51syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W )
53 fvco3 5612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  g ) `  x
)  =  ( F `
 ( g `  x ) ) )
5452, 53sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  x )  =  ( F `  ( g `
 x ) ) )
55 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
5642, 55syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F  Fn  A )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  F  Fn  A )
58 gsumval3a.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  W  C_  A )
60 fss 5413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  W  C_  A )  -> 
g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
6152, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
62 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( g `  x
)  e.  A )
6361, 62sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  A
)
64 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( g `  x
)  e.  A )  ->  ( F `  ( g `  x
) )  e.  ran  F )
6557, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( F `  ( g `  x
) )  e.  ran  F )
6654, 65eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  x )  e.  ran  F )
67 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) ) --> W )
6848, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W )
69 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( `' g  o.  f ) `  k )  =  ( `' g `  (
f `  k )
) )
7068, 69sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( `' g  o.  f
) `  k )  =  ( `' g `
 ( f `  k ) ) )
7170fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( g `  ( `' g `  (
f `  k )
) ) )
7245adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  g :
( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )
73 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  k
)  e.  W )
7468, 73sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( f `  k )  e.  W
)
75 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  ( f `
 k )  e.  W )  ->  (
g `  ( `' g `  ( f `  k ) ) )  =  ( f `  k ) )
7672, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( g `  ( `' g `  ( f `  k
) ) )  =  ( f `  k
) )
7771, 76eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( f `  k )  =  ( g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) )
7877fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( F `  ( f `  k
) )  =  ( F `  ( g `
 ( ( `' g  o.  f ) `
 k ) ) ) )
79 fvco3 5612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> W  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  =  ( F `
 ( f `  k ) ) )
8068, 79sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  =  ( F `  ( f `
 k ) ) )
81 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( # `
 W ) )  ->  ( `' g  o.  f ) : ( 1 ... ( # `
 W ) ) --> ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
8250, 81syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' g  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> ( 1 ... ( # `  W
) ) )
83 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' g  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W ) ) --> ( 1 ... ( # `  W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( `' g  o.  f ) `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )
8482, 83sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( `' g  o.  f
) `  k )  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
85 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( ( `' g  o.  f ) `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( F `  (
g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) ) )
8661, 85sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  (
( `' g  o.  f ) `  k
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  g ) `  (
( `' g  o.  f ) `  k
) )  =  ( F `  ( g `
 ( ( `' g  o.  f ) `
 k ) ) ) )
8784, 86syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  ( ( `' g  o.  f ) `  k ) )  =  ( F `  (
g `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) ) )
8878, 80, 873eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  =  ( ( F  o.  g
) `  ( ( `' g  o.  f
) `  k )
) )
8926, 34, 36, 40, 44, 50, 66, 88seqf1o 11103 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq  1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) )
90 eqeq12 2308 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq  1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) ) )
9189, 90syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( x  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  /\  y  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  g ) ) `
 ( # `  W
) ) )  ->  x  =  y )
)
9291expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )  /\  ( x  =  (  seq  1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  /\  y  =  (  seq  1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9319, 92syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9493exlimdvv 1627 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  ( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9518, 94syl5bir 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9695alrimivv 1622 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  /\  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
97 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  <-> 
y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
9897anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
9998exbidv 1616 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
100 f1oeq1 5479 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  <->  g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) )
101 coeq2 4858 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  ( F  o.  f )  =  ( F  o.  g ) )
102101seqeq3d 11070 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) )  =  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) )
103102fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  =  (  seq  1
(  .+  ,  ( F  o.  g )
) `  ( # `  W
) ) )
104103eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) )  <-> 
y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
105100, 104anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) )  <->  ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) ) )
106105cbvexv 1956 . . . 4  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
10799, 106syl6bb 252 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  g
) ) `  ( # `
 W ) ) ) ) )
108107eu4 2195 . 2  |-  ( E! x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  <->  ( E. x E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  A. x A. y ( ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  W
) ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  /\  y  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  g ) ) `  ( # `  W ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
10917, 96, 108sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  E! x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W  /\  x  =  (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156    =/= wne 2459    C_ wss 3165   (/)c0 3468   `'ccnv 4704   ran crn 4706    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   1c1 8754   NNcn 9762   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062   #chash 11353   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377  Cntzccntz 14807
This theorem is referenced by:  gsumval3  15207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-mnd 14383  df-cntz 14809
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