Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval3eu Unicode version

Theorem gsumval3eu 15190
 Description: The group sum as defined in gsumval3a 15189 is uniquely defined. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b
gsumval3.0
gsumval3.p
gsumval3.z Cntz
gsumval3.g
gsumval3.a
gsumval3.f
gsumval3.c
gsumval3a.t
gsumval3a.n
gsumval3a.s
Assertion
Ref Expression
gsumval3eu
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem gsumval3eu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3a.n . . . . . 6
21neneqd 2462 . . . . 5
3 gsumval3a.t . . . . . . 7
4 fz1f1o 12183 . . . . . . 7
53, 4syl 15 . . . . . 6
65ord 366 . . . . 5
72, 6mpd 14 . . . 4
87simprd 449 . . 3
9 excom 1786 . . . 4
10 exancom 1573 . . . . . 6
11 fvex 5539 . . . . . . 7
12 biidd 228 . . . . . . 7
1311, 12ceqsexv 2823 . . . . . 6
1410, 13bitri 240 . . . . 5
1514exbii 1569 . . . 4
169, 15bitri 240 . . 3
178, 16sylibr 203 . 2
18 eeanv 1854 . . . 4
19 an4 797 . . . . . 6
20 gsumval3.g . . . . . . . . . . 11
2120adantr 451 . . . . . . . . . 10
22 gsumval3.b . . . . . . . . . . . 12
23 gsumval3.p . . . . . . . . . . . 12
2422, 23mndcl 14372 . . . . . . . . . . 11
25243expb 1152 . . . . . . . . . 10
2621, 25sylan 457 . . . . . . . . 9
27 gsumval3.c . . . . . . . . . . . . 13
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
2928sselda 3180 . . . . . . . . . . 11
3029adantrr 697 . . . . . . . . . 10
31 simprr 733 . . . . . . . . . 10
32 gsumval3.z . . . . . . . . . . 11 Cntz
3323, 32cntzi 14805 . . . . . . . . . 10
3430, 31, 33syl2anc 642 . . . . . . . . 9
3522, 23mndass 14373 . . . . . . . . . 10
3621, 35sylan 457 . . . . . . . . 9
377simpld 445 . . . . . . . . . . 11
3837adantr 451 . . . . . . . . . 10
39 nnuz 10263 . . . . . . . . . 10
4038, 39syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9
41 gsumval3.f . . . . . . . . . . 11
4241adantr 451 . . . . . . . . . 10
43 frn 5395 . . . . . . . . . 10
4442, 43syl 15 . . . . . . . . 9
45 simprr 733 . . . . . . . . . . 11
46 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . 11
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . 10
48 simprl 732 . . . . . . . . . 10
49 f1oco 5496 . . . . . . . . . 10
5047, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9
51 f1of 5472 . . . . . . . . . . . 12
5245, 51syl 15 . . . . . . . . . . 11
53 fvco3 5596 . . . . . . . . . . 11
5452, 53sylan 457 . . . . . . . . . 10
55 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13
5642, 55syl 15 . . . . . . . . . . . 12
5756adantr 451 . . . . . . . . . . 11
58 gsumval3a.s . . . . . . . . . . . . . 14
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
60 fss 5397 . . . . . . . . . . . . 13
6152, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
62 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12
6361, 62sylan 457 . . . . . . . . . . 11
64 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . 11
6557, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
6654, 65eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9
67 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . 15
6848, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
69 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . 14
7068, 69sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13
7170fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12
7245adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
73 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14
7468, 73sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13
75 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . 13
7672, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
7771, 76eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . 11
7877fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10
79 fvco3 5596 . . . . . . . . . . 11
8068, 79sylan 457 . . . . . . . . . 10
81 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . 13
8250, 81syl 15 . . . . . . . . . . . 12
83 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12
8482, 83sylan 457 . . . . . . . . . . 11
85 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . 12
8661, 85sylan 457 . . . . . . . . . . 11
8784, 86syldan 456 . . . . . . . . . 10
8878, 80, 873eqtr4d 2325 . . . . . . . . 9
8926, 34, 36, 40, 44, 50, 66, 88seqf1o 11087 . . . . . . . 8
90 eqeq12 2295 . . . . . . . 8
9189, 90syl5ibrcom 213 . . . . . . 7
9291expimpd 586 . . . . . 6
9319, 92syl5bir 209 . . . . 5
9493exlimdvv 1668 . . . 4
9518, 94syl5bir 209 . . 3
9695alrimivv 1618 . 2
97 eqeq1 2289 . . . . . 6
9897anbi2d 684 . . . . 5
9998exbidv 1612 . . . 4
100 f1oeq1 5463 . . . . . 6
101 coeq2 4842 . . . . . . . . 9
102101seqeq3d 11054 . . . . . . . 8
103102fveq1d 5527 . . . . . . 7
104103eqeq2d 2294 . . . . . 6
105100, 104anbi12d 691 . . . . 5
106105cbvexv 1943 . . . 4
10799, 106syl6bb 252 . . 3
108107eu4 2182 . 2
10917, 96, 108sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 357   wa 358   w3a 934  wal 1527  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  weu 2143   wne 2446   wss 3152  c0 3455  ccnv 4688   crn 4690   ccom 4693   wfn 5250  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  c1 8738  cn 9746  cuz 10230  cfz 10782   cseq 11046  chash 11337  cbs 13148   cplusg 13208  c0g 13400  cmnd 14361  Cntzccntz 14791 This theorem is referenced by:  gsumval3  15191 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-mnd 14367  df-cntz 14793
 Copyright terms: Public domain W3C validator