Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwmhm Unicode version

Theorem gsumwmhm 14483
 Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwmhm.b
Assertion
Ref Expression
gsumwmhm MndHom Word g g

Proof of Theorem gsumwmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . 5 g g
2 eqid 2296 . . . . . 6
32gsum0 14473 . . . . 5 g
41, 3syl6eq 2344 . . . 4 g
54fveq2d 5545 . . 3 g
6 coeq2 4858 . . . . . 6
7 co02 5202 . . . . . 6
86, 7syl6eq 2344 . . . . 5
98oveq2d 5890 . . . 4 g g
10 eqid 2296 . . . . 5
1110gsum0 14473 . . . 4 g
129, 11syl6eq 2344 . . 3 g
135, 12eqeq12d 2310 . 2 g g
14 mhmrcl1 14434 . . . . . 6 MndHom
1514ad2antrr 706 . . . . 5 MndHom Word
16 gsumwmhm.b . . . . . . 7
17 eqid 2296 . . . . . . 7
1816, 17mndcl 14388 . . . . . 6
19183expb 1152 . . . . 5
2015, 19sylan 457 . . . 4 MndHom Word
21 wrdf 11435 . . . . . . 7 Word ..^
2221ad2antlr 707 . . . . . 6 MndHom Word ..^
23 wrdfin 11436 . . . . . . . . . . . 12 Word
2423adantl 452 . . . . . . . . . . 11 MndHom Word
25 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . 11
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . 10 MndHom Word
2726biimpar 471 . . . . . . . . 9 MndHom Word
2827nnzd 10132 . . . . . . . 8 MndHom Word
29 fzoval 10892 . . . . . . . 8 ..^
3028, 29syl 15 . . . . . . 7 MndHom Word ..^
3130feq2d 5396 . . . . . 6 MndHom Word ..^
3222, 31mpbid 201 . . . . 5 MndHom Word
33 ffvelrn 5679 . . . . 5
3432, 33sylan 457 . . . 4 MndHom Word
35 nnm1nn0 10021 . . . . . 6
3627, 35syl 15 . . . . 5 MndHom Word
37 nn0uz 10278 . . . . 5
3836, 37syl6eleq 2386 . . . 4 MndHom Word
39 simpll 730 . . . . 5 MndHom Word MndHom
40 eqid 2296 . . . . . . 7
4116, 17, 40mhmlin 14438 . . . . . 6 MndHom
42413expb 1152 . . . . 5 MndHom
4339, 42sylan 457 . . . 4 MndHom Word
44 ffn 5405 . . . . . . 7
4532, 44syl 15 . . . . . 6 MndHom Word
46 fvco2 5610 . . . . . 6
4745, 46sylan 457 . . . . 5 MndHom Word
4847eqcomd 2301 . . . 4 MndHom Word
4920, 34, 38, 43, 48seqhomo 11109 . . 3 MndHom Word
5016, 17, 15, 38, 32gsumval2 14476 . . . 4 MndHom Word g
5150fveq2d 5545 . . 3 MndHom Word g
52 eqid 2296 . . . 4
53 mhmrcl2 14435 . . . . 5 MndHom
5453ad2antrr 706 . . . 4 MndHom Word
5516, 52mhmf 14436 . . . . . 6 MndHom
5655ad2antrr 706 . . . . 5 MndHom Word
57 fco 5414 . . . . 5
5856, 32, 57syl2anc 642 . . . 4 MndHom Word
5952, 40, 54, 38, 58gsumval2 14476 . . 3 MndHom Word g
6049, 51, 593eqtr4d 2338 . 2 MndHom Word g g
612, 10mhm0 14439 . . 3 MndHom
6261adantr 451 . 2 MndHom Word
6313, 60, 62pm2.61ne 2534 1 MndHom Word g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  c0 3468   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  cc0 8753  c1 8754   cmin 9053  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798  ..^cfzo 10886   cseq 11062  chash 11353  Word cword 11419  cbs 13164   cplusg 13224  c0g 13416   g cgsu 13417  cmnd 14377   MndHom cmhm 14429 This theorem is referenced by:  frmdup3  14504  frgpup3lem  15102  symgtrinv  27516 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-word 11425  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-mhm 14431
 Copyright terms: Public domain W3C validator