MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumws1 Unicode version

Theorem gsumws1 14748
Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gsumws1  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" S "> )  =  S )

Proof of Theorem gsumws1
StepHypRef Expression
1 s1val 11715 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  <" S ">  =  { <. 0 ,  S >. } )
21oveq2d 6064 . 2  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" S "> )  =  ( G  gsumg  {
<. 0 ,  S >. } ) )
3 gsumwcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2412 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
5 elfvdm 5724 . . . 4  |-  ( S  e.  ( Base `  G
)  ->  G  e.  dom  Base )
65, 3eleq2s 2504 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  G  e.  dom  Base )
7 0nn0 10200 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
8 nn0uz 10484 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
97, 8eleqtri 2484 . . . 4  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
109a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
11 0z 10257 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
12 f1osng 5683 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  S  e.  B )  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } -1-1-onto-> { S } )
1311, 12mpan 652 . . . . . 6  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } -1-1-onto-> { S } )
14 f1of 5641 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  S >. } : { 0 } -1-1-onto-> { S }  ->  {
<. 0 ,  S >. } : { 0 } --> { S }
)
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> { S } )
16 snssi 3910 . . . . 5  |-  ( S  e.  B  ->  { S }  C_  B )
17 fss 5566 . . . . 5  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> { S }  /\  { S }  C_  B )  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> B )
1815, 16, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> B )
19 fzsn 11058 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
2011, 19ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
2120feq2i 5553 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  S >. } : ( 0 ... 0 ) --> B  <->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> B )
2218, 21sylibr 204 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : ( 0 ... 0 ) --> B )
233, 4, 6, 10, 22gsumval2 14746 . 2  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
{ <. 0 ,  S >. } )  =  (  seq  0 ( ( +g  `  G ) ,  { <. 0 ,  S >. } ) ` 
0 ) )
24 fvsng 5894 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  S  e.  B )  ->  ( { <. 0 ,  S >. } `  0
)  =  S )
2511, 24mpan 652 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  ( { <. 0 ,  S >. } `  0 )  =  S )
2611, 25seq1i 11300 . 2  |-  ( S  e.  B  ->  (  seq  0 ( ( +g  `  G ) ,  { <. 0 ,  S >. } ) `  0 )  =  S )
272, 23, 263eqtrd 2448 1  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" S "> )  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   {csn 3782   <.cop 3785   dom cdm 4845   -->wf 5417   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   0cc0 8954   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007    seq cseq 11286   <"cs1 11682   Basecbs 13432   +g cplusg 13492    gsumg cgsu 13687
This theorem is referenced by:  gsumws2  14751  gsumwspan  14754  frmdgsum  14770  frmdup2  14773  gsumwrev  15125  frgpup2  15371  psgnunilem5  27293  psgnpmtr  27309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-seq 11287  df-s1 11688  df-0g 13690  df-gsum 13691
  Copyright terms: Public domain W3C validator