MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumws1 Unicode version

Theorem gsumws1 14561
Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gsumws1  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" S "> )  =  S )

Proof of Theorem gsumws1
StepHypRef Expression
1 s1val 11534 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  <" S ">  =  { <. 0 ,  S >. } )
21oveq2d 5961 . 2  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" S "> )  =  ( G  gsumg  {
<. 0 ,  S >. } ) )
3 gsumwcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2358 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
5 elfvdm 5637 . . . 4  |-  ( S  e.  ( Base `  G
)  ->  G  e.  dom  Base )
65, 3eleq2s 2450 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  G  e.  dom  Base )
7 0nn0 10072 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
8 nn0uz 10354 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
97, 8eleqtri 2430 . . . 4  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
109a1i 10 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
11 0z 10127 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
12 f1osng 5597 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  S  e.  B )  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } -1-1-onto-> { S } )
1311, 12mpan 651 . . . . . 6  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } -1-1-onto-> { S } )
14 f1of 5555 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  S >. } : { 0 } -1-1-onto-> { S }  ->  {
<. 0 ,  S >. } : { 0 } --> { S }
)
1513, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> { S } )
16 snssi 3838 . . . . 5  |-  ( S  e.  B  ->  { S }  C_  B )
17 fss 5480 . . . . 5  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> { S }  /\  { S }  C_  B )  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> B )
1815, 16, 17syl2anc 642 . . . 4  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> B )
19 fzsn 10925 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
2011, 19ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
2120feq2i 5467 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  S >. } : ( 0 ... 0 ) --> B  <->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> B )
2218, 21sylibr 203 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : ( 0 ... 0 ) --> B )
233, 4, 6, 10, 22gsumval2 14559 . 2  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
{ <. 0 ,  S >. } )  =  (  seq  0 ( ( +g  `  G ) ,  { <. 0 ,  S >. } ) ` 
0 ) )
24 fvsng 5798 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  S  e.  B )  ->  ( { <. 0 ,  S >. } `  0
)  =  S )
2511, 24mpan 651 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  ( { <. 0 ,  S >. } `  0 )  =  S )
2611, 25seq1i 11152 . 2  |-  ( S  e.  B  ->  (  seq  0 ( ( +g  `  G ) ,  { <. 0 ,  S >. } ) `  0 )  =  S )
272, 23, 263eqtrd 2394 1  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" S "> )  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   {csn 3716   <.cop 3719   dom cdm 4771   -->wf 5333   -1-1-onto->wf1o 5336   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   0cc0 8827   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   ...cfz 10874    seq cseq 11138   <"cs1 11501   Basecbs 13245   +g cplusg 13305    gsumg cgsu 13500
This theorem is referenced by:  gsumws2  14564  gsumwspan  14567  frmdgsum  14583  frmdup2  14586  gsumwrev  14938  frgpup2  15184  psgnunilem5  26740  psgnpmtr  26756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-seq 11139  df-s1 11507  df-0g 13503  df-gsum 13504
  Copyright terms: Public domain W3C validator