MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumws2 Unicode version

Theorem gsumws2 14751
Description: Valuation of a pair in a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumccat.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
gsumws2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( G  gsumg 
<" S T "> )  =  ( S  .+  T ) )

Proof of Theorem gsumws2
StepHypRef Expression
1 df-s2 11775 . . . 4  |-  <" S T ">  =  (
<" S "> concat  <" T "> )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  <" S T ">  =  (
<" S "> concat  <" T "> ) )
32oveq2d 6064 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( G  gsumg 
<" S T "> )  =  ( G  gsumg  ( <" S "> concat  <" T "> ) ) )
4 id 20 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  G  e.  Mnd )
5 s1cl 11718 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  <" S ">  e. Word  B )
6 s1cl 11718 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  <" T ">  e. Word  B )
7 gsumwcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 gsumccat.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
97, 8gsumccat 14750 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  <" S ">  e. Word  B  /\  <" T ">  e. Word  B )  ->  ( G  gsumg  ( <" S "> concat  <" T "> ) )  =  ( ( G  gsumg 
<" S "> )  .+  ( G  gsumg  <" T "> ) ) )
104, 5, 6, 9syl3an 1226 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( <" S "> concat  <" T "> ) )  =  ( ( G  gsumg 
<" S "> )  .+  ( G  gsumg  <" T "> ) ) )
117gsumws1 14748 . . . 4  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" S "> )  =  S )
127gsumws1 14748 . . . 4  |-  ( T  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" T "> )  =  T )
1311, 12oveqan12d 6067 . . 3  |-  ( ( S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( ( G  gsumg  <" S "> )  .+  ( G  gsumg 
<" T "> ) )  =  ( S  .+  T ) )
14133adant1 975 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( ( G  gsumg  <" S "> )  .+  ( G  gsumg 
<" T "> ) )  =  ( S  .+  T ) )
153, 10, 143eqtrd 2448 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  e.  B  /\  T  e.  B )  ->  ( G  gsumg 
<" S T "> )  =  ( S  .+  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048  Word cword 11680   concat cconcat 11681   <"cs1 11682   <"cs2 11768   Basecbs 13432   +g cplusg 13492    gsumg cgsu 13687   Mndcmnd 14647
This theorem is referenced by:  frgpuplem  15367  psgnunilem2  27294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-word 11686  df-concat 11687  df-s1 11688  df-s2 11775  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mnd 14653  df-submnd 14702
  Copyright terms: Public domain W3C validator