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Theorem gsumwspan 14796
 Description: The submonoid generated by a set of elements is precisely the set of elements which can be expressed as finite products of the generator. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwspan.b
gsumwspan.k mrClsSubMnd
Assertion
Ref Expression
gsumwspan Word g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem gsumwspan
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumwspan.b . . . . . 6
21submacs 14770 . . . . 5 SubMnd ACS
32acsmred 13886 . . . 4 SubMnd Moore
43adantr 453 . . 3 SubMnd Moore
5 simpr 449 . . . . . . . 8
65s1cld 11761 . . . . . . 7 Word
7 ssel2 3345 . . . . . . . . . 10
87adantll 696 . . . . . . . . 9
91gsumws1 14790 . . . . . . . . 9 g
108, 9syl 16 . . . . . . . 8 g
1110eqcomd 2443 . . . . . . 7 g
12 oveq2 6092 . . . . . . . . 9 g g
1312eqeq2d 2449 . . . . . . . 8 g g
1413rspcev 3054 . . . . . . 7 Word g Word g
156, 11, 14syl2anc 644 . . . . . 6 Word g
16 vex 2961 . . . . . . 7
17 eqid 2438 . . . . . . . 8 Word g Word g
1817elrnmpt 5120 . . . . . . 7 Word g Word g
1916, 18ax-mp 5 . . . . . 6 Word g Word g
2015, 19sylibr 205 . . . . 5 Word g
2120ex 425 . . . 4 Word g
2221ssrdv 3356 . . 3 Word g
23 gsumwspan.k . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd
2423mrccl 13841 . . . . . . . . . 10 SubMnd Moore SubMnd
253, 24sylan 459 . . . . . . . . 9 SubMnd
2625adantr 453 . . . . . . . 8 Word SubMnd
2723mrcssid 13847 . . . . . . . . . . 11 SubMnd Moore
283, 27sylan 459 . . . . . . . . . 10
29 sswrd 11742 . . . . . . . . . 10 Word Word
3028, 29syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word
3130sselda 3350 . . . . . . . 8 Word Word
32 gsumwsubmcl 14789 . . . . . . . 8 SubMnd Word g
3326, 31, 32syl2anc 644 . . . . . . 7 Word g
3433, 17fmptd 5896 . . . . . 6 Word g Word
35 frn 5600 . . . . . 6 Word g Word Word g
3634, 35syl 16 . . . . 5 Word g
373, 23mrcssvd 13853 . . . . . 6
3837adantr 453 . . . . 5
3936, 38sstrd 3360 . . . 4 Word g
40 wrd0 11737 . . . . . 6 Word
41 eqid 2438 . . . . . . . . 9
4241gsum0 14785 . . . . . . . 8 g
4342eqcomi 2442 . . . . . . 7 g
4443a1i 11 . . . . . 6 g
45 oveq2 6092 . . . . . . . 8 g g
4645eqeq2d 2449 . . . . . . 7 g g
4746rspcev 3054 . . . . . 6 Word g Word g
4840, 44, 47sylancr 646 . . . . 5 Word g
49 fvex 5745 . . . . . 6
5017elrnmpt 5120 . . . . . 6 Word g Word g
5149, 50ax-mp 5 . . . . 5 Word g Word g
5248, 51sylibr 205 . . . 4 Word g
53 ccatcl 11748 . . . . . . . . 9 Word Word concat Word
5453adantl 454 . . . . . . . 8 Word Word concat Word
55 simpll 732 . . . . . . . . . 10 Word Word
56 sswrd 11742 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
5756ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word Word
58 simprl 734 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word
5957, 58sseldd 3351 . . . . . . . . . 10 Word Word Word
60 simprr 735 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word
6157, 60sseldd 3351 . . . . . . . . . 10 Word Word Word
62 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
631, 62gsumccat 14792 . . . . . . . . . 10 Word Word g concat g g
6455, 59, 61, 63syl3anc 1185 . . . . . . . . 9 Word Word g concat g g
6564eqcomd 2443 . . . . . . . 8 Word Word g g g concat
66 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10 concat g g concat
6766eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9 concat g g g g g g concat
6867rspcev 3054 . . . . . . . 8 concat Word g g g concat Word g g g
6954, 65, 68syl2anc 644 . . . . . . 7 Word Word Word g g g
70 ovex 6109 . . . . . . . 8 g g
7117elrnmpt 5120 . . . . . . . 8 g g g g Word g Word g g g
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 g g Word g Word g g g
7369, 72sylibr 205 . . . . . 6 Word Word g g Word g
7473ralrimivva 2800 . . . . 5 Word Word g g Word g
75 oveq2 6092 . . . . . . . . 9 g g
7675cbvmptv 4303 . . . . . . . 8 Word g Word g
7776rneqi 5099 . . . . . . 7 Word g Word g
7877raleqi 2910 . . . . . 6 Word g Word g Word g Word g Word g Word g
79 oveq2 6092 . . . . . . . . . . 11 g g
8079cbvmptv 4303 . . . . . . . . . 10 Word g Word g
8180rneqi 5099 . . . . . . . . 9 Word g Word g
8281raleqi 2910 . . . . . . . 8 Word g Word g Word g Word g
83 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 Word g Word g
84 oveq2 6092 . . . . . . . . . . 11 g g
8584eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10 g Word g g Word g
8683, 85ralrnmpt 5881 . . . . . . . . 9 Word g Word g Word g Word g Word g
87 ovex 6109 . . . . . . . . . 10 g
8887a1i 11 . . . . . . . . 9 Word g
8986, 88mprg 2777 . . . . . . . 8 Word g Word g Word g Word g
9082, 89bitri 242 . . . . . . 7 Word g Word g Word g Word g
9190ralbii 2731 . . . . . 6 Word g Word g Word g Word g Word g Word g
92 eqid 2438 . . . . . . . 8 Word g Word g
93 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10 g g g g
9493eleq1d 2504 . . . . . . . . 9 g g Word g g g Word g
9594ralbidv 2727 . . . . . . . 8 g Word g Word g Word g g Word g
9692, 95ralrnmpt 5881 . . . . . . 7 Word g Word g Word g Word g Word Word g g Word g
97 ovex 6109 . . . . . . . 8 g
9897a1i 11 . . . . . . 7 Word g
9996, 98mprg 2777 . . . . . 6 Word g Word g Word g Word Word g g Word g
10078, 91, 993bitri 264 . . . . 5 Word g Word g Word g Word Word g g Word g
10174, 100sylibr 205 . . . 4 Word g Word g Word g
1021, 41, 62issubm 14753 . . . . 5 Word g SubMnd Word g Word g Word g Word g Word g
103102adantr 453 . . . 4 Word g SubMnd Word g Word g Word g Word g Word g
10439, 52, 101, 103mpbir3and 1138 . . 3 Word g SubMnd
10523mrcsscl 13850 . . 3 SubMnd Moore Word g Word g SubMnd Word g
1064, 22, 104, 105syl3anc 1185 . 2 Word g
107106, 36eqssd 3367 1 Word g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322  c0 3630   cmpt 4269   crn 4882  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  Word cword 11722   concat cconcat 11723  cs1 11724  cbs 13474   cplusg 13534  c0g 13728   g cgsu 13729  Moorecmre 13812  mrClscmrc 13813  cmnd 14689  SubMndcsubmnd 14742 This theorem is referenced by:  psgneldm2  27418 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-word 11728  df-concat 11729  df-s1 11730  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744
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