Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwspan Unicode version

Theorem gsumwspan 14484
 Description: The submonoid generated by a set of elements is precisely the set of elements which can be expressed as finite products of the generator. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwspan.b
gsumwspan.k mrClsSubMnd
Assertion
Ref Expression
gsumwspan Word g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem gsumwspan
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumwspan.b . . . . . 6
21submacs 14458 . . . . 5 SubMnd ACS
3 acsmre 13570 . . . . 5 SubMnd ACS SubMnd Moore
42, 3syl 15 . . . 4 SubMnd Moore
54adantr 451 . . 3 SubMnd Moore
6 simpr 447 . . . . . . . 8
76s1cld 11458 . . . . . . 7 Word
8 ssel2 3188 . . . . . . . . . 10
98adantll 694 . . . . . . . . 9
101gsumws1 14478 . . . . . . . . 9 g
119, 10syl 15 . . . . . . . 8 g
1211eqcomd 2301 . . . . . . 7 g
13 oveq2 5882 . . . . . . . . 9 g g
1413eqeq2d 2307 . . . . . . . 8 g g
1514rspcev 2897 . . . . . . 7 Word g Word g
167, 12, 15syl2anc 642 . . . . . 6 Word g
17 vex 2804 . . . . . . 7
18 eqid 2296 . . . . . . . 8 Word g Word g
1918elrnmpt 4942 . . . . . . 7 Word g Word g
2017, 19ax-mp 8 . . . . . 6 Word g Word g
2116, 20sylibr 203 . . . . 5 Word g
2221ex 423 . . . 4 Word g
2322ssrdv 3198 . . 3 Word g
24 gsumwspan.k . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd
2524mrccl 13529 . . . . . . . . . 10 SubMnd Moore SubMnd
264, 25sylan 457 . . . . . . . . 9 SubMnd
2726adantr 451 . . . . . . . 8 Word SubMnd
2824mrcssid 13535 . . . . . . . . . . 11 SubMnd Moore
294, 28sylan 457 . . . . . . . . . 10
30 sswrd 11439 . . . . . . . . . 10 Word Word
3129, 30syl 15 . . . . . . . . 9 Word Word
3231sselda 3193 . . . . . . . 8 Word Word
33 gsumwsubmcl 14477 . . . . . . . 8 SubMnd Word g
3427, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . 7 Word g
3534, 18fmptd 5700 . . . . . 6 Word g Word
36 frn 5411 . . . . . 6 Word g Word Word g
3735, 36syl 15 . . . . 5 Word g
3824mrcssv 13532 . . . . . . 7 SubMnd Moore
394, 38syl 15 . . . . . 6
4039adantr 451 . . . . 5
4137, 40sstrd 3202 . . . 4 Word g
42 wrd0 11434 . . . . . 6 Word
43 eqid 2296 . . . . . . . . 9
4443gsum0 14473 . . . . . . . 8 g
4544eqcomi 2300 . . . . . . 7 g
4645a1i 10 . . . . . 6 g
47 oveq2 5882 . . . . . . . 8 g g
4847eqeq2d 2307 . . . . . . 7 g g
4948rspcev 2897 . . . . . 6 Word g Word g
5042, 46, 49sylancr 644 . . . . 5 Word g
51 fvex 5555 . . . . . 6
5218elrnmpt 4942 . . . . . 6 Word g Word g
5351, 52ax-mp 8 . . . . 5 Word g Word g
5450, 53sylibr 203 . . . 4 Word g
55 ccatcl 11445 . . . . . . . . 9 Word Word concat Word
5655adantl 452 . . . . . . . 8 Word Word concat Word
57 simpll 730 . . . . . . . . . 10 Word Word
58 sswrd 11439 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
5958ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word Word
60 simprl 732 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word
6159, 60sseldd 3194 . . . . . . . . . 10 Word Word Word
62 simprr 733 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word
6359, 62sseldd 3194 . . . . . . . . . 10 Word Word Word
64 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
651, 64gsumccat 14480 . . . . . . . . . 10 Word Word g concat g g
6657, 61, 63, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . 9 Word Word g concat g g
6766eqcomd 2301 . . . . . . . 8 Word Word g g g concat
68 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10 concat g g concat
6968eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9 concat g g g g g g concat
7069rspcev 2897 . . . . . . . 8 concat Word g g g concat Word g g g
7156, 67, 70syl2anc 642 . . . . . . 7 Word Word Word g g g
72 ovex 5899 . . . . . . . 8 g g
7318elrnmpt 4942 . . . . . . . 8 g g g g Word g Word g g g
7472, 73ax-mp 8 . . . . . . 7 g g Word g Word g g g
7571, 74sylibr 203 . . . . . 6 Word Word g g Word g
7675ralrimivva 2648 . . . . 5 Word Word g g Word g
77 oveq2 5882 . . . . . . . . 9 g g
7877cbvmptv 4127 . . . . . . . 8 Word g Word g
7978rneqi 4921 . . . . . . 7 Word g Word g
8079raleqi 2753 . . . . . 6 Word g Word g Word g Word g Word g Word g
81 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12 g g
8281cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . 11 Word g Word g
8382rneqi 4921 . . . . . . . . . 10 Word g Word g
8483raleqi 2753 . . . . . . . . 9 Word g Word g Word g Word g
85 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11 Word g Word g
86 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12 g g
8786eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11 g Word g g Word g
8885, 87ralrnmpt 5685 . . . . . . . . . 10 Word g Word g Word g Word g Word g
89 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11 g
9089a1i 10 . . . . . . . . . 10 Word g
9188, 90mprg 2625 . . . . . . . . 9 Word g Word g Word g Word g
9284, 91bitri 240 . . . . . . . 8 Word g Word g Word g Word g
9392ralbii 2580 . . . . . . 7 Word g Word g Word g Word g Word g Word g
94 eqid 2296 . . . . . . . . 9 Word g Word g
95 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11 g g g g
9695eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10 g g Word g g g Word g
9796ralbidv 2576 . . . . . . . . 9 g Word g Word g Word g g Word g
9894, 97ralrnmpt 5685 . . . . . . . 8 Word g Word g Word g Word g Word Word g g Word g
99 ovex 5899 . . . . . . . . 9 g
10099a1i 10 . . . . . . . 8 Word g
10198, 100mprg 2625 . . . . . . 7 Word g Word g Word g Word Word g g Word g
10293, 101bitri 240 . . . . . 6 Word g Word g Word g Word Word g g Word g
10380, 102bitri 240 . . . . 5 Word g Word g Word g Word Word g g Word g
10476, 103sylibr 203 . . . 4 Word g Word g Word g
1051, 43, 64issubm 14441 . . . . 5 Word g SubMnd Word g Word g Word g Word g Word g
106105adantr 451 . . . 4 Word g SubMnd Word g Word g Word g Word g Word g
10741, 54, 104, 106mpbir3and 1135 . . 3 Word g SubMnd
10824mrcsscl 13538 . . 3 SubMnd Moore Word g Word g SubMnd Word g
1095, 23, 107, 108syl3anc 1182 . 2 Word g
110109, 37eqssd 3209 1 Word g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   wss 3165  c0 3468   cmpt 4093   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  Word cword 11419   concat cconcat 11420  cs1 11421  cbs 13164   cplusg 13224  c0g 13416   g cgsu 13417  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  ACScacs 13503  cmnd 14377  SubMndcsubmnd 14430 This theorem is referenced by:  psgneldm2  27530 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-word 11425  df-concat 11426  df-s1 11427  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432
 Copyright terms: Public domain W3C validator