Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwsubmcl Structured version   Unicode version

Theorem gsumwsubmcl 14815
 Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
gsumwsubmcl SubMnd Word g

Proof of Theorem gsumwsubmcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6118 . . . 4 g g
2 eqid 2442 . . . . 5
32gsum0 14811 . . . 4 g
41, 3syl6eq 2490 . . 3 g
54eleq1d 2508 . 2 g
6 eqid 2442 . . . 4
7 eqid 2442 . . . 4
8 submrcl 14778 . . . . 5 SubMnd
98ad2antrr 708 . . . 4 SubMnd Word
10 lennncl 11767 . . . . . . 7 Word
1110adantll 696 . . . . . 6 SubMnd Word
12 nnm1nn0 10292 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5 SubMnd Word
14 nn0uz 10551 . . . . 5
1513, 14syl6eleq 2532 . . . 4 SubMnd Word
16 wrdf 11764 . . . . . . 7 Word ..^
1716ad2antlr 709 . . . . . 6 SubMnd Word ..^
1811nnzd 10405 . . . . . . . 8 SubMnd Word
19 fzoval 11172 . . . . . . . 8 ..^
2018, 19syl 16 . . . . . . 7 SubMnd Word ..^
2120feq2d 5610 . . . . . 6 SubMnd Word ..^
2217, 21mpbid 203 . . . . 5 SubMnd Word
236submss 14781 . . . . . 6 SubMnd
2423ad2antrr 708 . . . . 5 SubMnd Word
25 fss 5628 . . . . 5
2622, 24, 25syl2anc 644 . . . 4 SubMnd Word
276, 7, 9, 15, 26gsumval2 14814 . . 3 SubMnd Word g
2822ffvelrnda 5899 . . . 4 SubMnd Word
29 simpll 732 . . . . 5 SubMnd Word SubMnd
307submcl 14784 . . . . . 6 SubMnd
31303expb 1155 . . . . 5 SubMnd
3229, 31sylan 459 . . . 4 SubMnd Word
3315, 28, 32seqcl 11374 . . 3 SubMnd Word
3427, 33eqeltrd 2516 . 2 SubMnd Word g
352subm0cl 14783 . . 3 SubMnd
3635adantr 453 . 2 SubMnd Word
375, 34, 36pm2.61ne 2685 1 SubMnd Word g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605   wss 3306  c0 3613  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  cc0 9021  c1 9022   cmin 9322  cn 10031  cn0 10252  cz 10313  cuz 10519  cfz 11074  ..^cfzo 11166   cseq 11354  chash 11649  Word cword 11748  cbs 13500   cplusg 13560  c0g 13754   g cgsu 13755  cmnd 14715  SubMndcsubmnd 14768 This theorem is referenced by:  gsumwcl  14817  gsumwspan  14822  frmdss2  14839  psgnunilem5  27432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-word 11754  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mnd 14721  df-submnd 14770
 Copyright terms: Public domain W3C validator