Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzadd Structured version   Unicode version

 Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
9 eqid 2436 . 2
11 gsumzadd.s . . . 4 SubMnd
121submss 14743 . . . 4 SubMnd
1311, 12syl 16 . . 3
14 fss 5592 . . 3
1510, 13, 14syl2anc 643 . 2
17 fss 5592 . . 3
1816, 13, 17syl2anc 643 . 2
20 frn 5590 . . . 4
2110, 20syl 16 . . 3
224cntzidss 15129 . . 3
2319, 21, 22syl2anc 643 . 2
24 frn 5590 . . . 4
2516, 24syl 16 . . 3
264cntzidss 15129 . . 3
2719, 25, 26syl2anc 643 . 2
283submcl 14746 . . . . . . 7 SubMnd
29283expb 1154 . . . . . 6 SubMnd
3011, 29sylan 458 . . . . 5
31 inidm 3543 . . . . 5
3230, 10, 16, 6, 6, 31off 6313 . . . 4
33 frn 5590 . . . 4
3432, 33syl 16 . . 3
354cntzidss 15129 . . 3
3619, 34, 35syl2anc 643 . 2
3719adantr 452 . . . 4
3813adantr 452 . . . . 5
395adantr 452 . . . . . . 7
40 vex 2952 . . . . . . . 8
4140a1i 11 . . . . . . 7
4211adantr 452 . . . . . . 7 SubMnd
43 simpl 444 . . . . . . . 8
44 fssres 5603 . . . . . . . 8
4516, 43, 44syl2an 464 . . . . . . 7
4627adantr 452 . . . . . . . 8
47 resss 5163 . . . . . . . . 9
48 rnss 5091 . . . . . . . . 9
4947, 48ax-mp 8 . . . . . . . 8
504cntzidss 15129 . . . . . . . 8
5146, 49, 50sylancl 644 . . . . . . 7
528adantr 452 . . . . . . . 8
53 cnvss 5038 . . . . . . . . 9
54 imass1 5232 . . . . . . . . 9
5547, 53, 54mp2b 10 . . . . . . . 8
56 ssfi 7322 . . . . . . . 8
5752, 55, 56sylancl 644 . . . . . . 7
582, 4, 39, 41, 42, 45, 51, 57gsumzsubmcl 15516 . . . . . 6 g
5958snssd 3936 . . . . 5 g
601, 4cntz2ss 15124 . . . . 5 g g
6138, 59, 60syl2anc 643 . . . 4 g
6237, 61sstrd 3351 . . 3 g
63 eldifi 3462 . . . . 5
6463adantl 453 . . . 4
65 ffvelrn 5861 . . . 4
6610, 64, 65syl2an 464 . . 3
6762, 66sseldd 3342 . 2 g
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 18, 23, 27, 36, 67gsumzaddlem 15519 1 g g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2949   cdif 3310   cun 3311   wss 3313  csn 3807  ccnv 4870   crn 4872   cres 4873  cima 4874  wf 5443  cfv 5447  (class class class)co 6074   cof 6296  cfn 7102  cbs 13462   cplusg 13522  c0g 13716   g cgsu 13717  cmnd 14677  SubMndcsubmnd 14730  Cntzccntz 15107 This theorem is referenced by:  gsumadd  15521  gsumzsplit  15522 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-seq 11317  df-hash 11612  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-cntz 15109
 Copyright terms: Public domain W3C validator