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Theorem gsumzaddlem 15219
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumzadd.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumzadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumzadd.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
gsumzadd.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumzadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumzadd.fn  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumzadd.hn  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
gsumzaddlem.w  |-  W  =  ( `' ( F  u.  H ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
gsumzaddlem.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumzaddlem.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
gsumzaddlem.1  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
gsumzaddlem.2  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
gsumzaddlem.3  |-  ( ph  ->  ran  ( F  o F  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  o F  .+  H
) ) )
gsumzaddlem.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  k  e.  ( A  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
gsumzaddlem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,  .+    .0. , k, x    k, F, x    k, G, x    A, k, x    B, k, x    k, H, x    ph, k, x    x, V   
k, W, x    k, Z, x
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem gsumzaddlem
Dummy variables  f  n  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzadd.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
2 gsumzadd.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 gsumzadd.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42, 3mndidcl 14407 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
6 gsumzadd.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
72, 6, 3mndlid 14409 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
81, 5, 7syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
98adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
10 gsumzaddlem.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
11 ssun1 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
12 gsumzaddlem.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  ( `' ( F  u.  H ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
13 cnvun 5102 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( F  u.  H )  =  ( `' F  u.  `' H )
1413imaeq1i 5025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( F  u.  H
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( ( `' F  u.  `' H ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )
15 imaundir 5110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F  u.  `' H ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1612, 14, 153eqtri 2320 . . . . . . . . . 10  |-  W  =  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
1711, 16sseqtr4i 3224 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  W
1817a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
1910, 18gsumcllem 15209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
2019oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
21 gsumzadd.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
223gsumz 14474 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
231, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
2423adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
2520, 24eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  .0.  )
26 gsumzaddlem.h . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
27 ssun2 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
2827, 16sseqtr4i 3224 . . . . . . . . 9  |-  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  W
2928a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
3026, 29gsumcllem 15209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  H  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
3130oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
3231, 24eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  .0.  )
3325, 32oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) )  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
3421adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  V )
355ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  .0.  e.  B )
3634, 35, 35, 19, 30offval2 6111 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F  o F  .+  H )  =  ( x  e.  A  |->  (  .0.  .+  .0.  ) ) )
379mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  A  |->  (  .0.  .+  .0.  ) )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
3836, 37eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F  o F  .+  H )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )
3938oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  o F  .+  H ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
4039, 24eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  o F  .+  H ) )  =  .0.  )
419, 33, 403eqtr4rd 2339 . . 3  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( G  gsumg  ( F  o F  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) )
4241ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
431adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  G  e.  Mnd )
442, 6mndcl 14388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  z  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( z  .+  w
)  e.  B )
45443expb 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
4643, 45sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
4746caovclg 6028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
48 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
49 nnuz 10279 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5048, 49syl6eleq 2386 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5110adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F : A --> B )
52 f1of1 5487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) )
-1-1-> W )
5352ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> W )
54 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  F
55 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
5610, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
5754, 56syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
58 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  H
59 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H : A --> B  ->  dom  H  =  A )
6026, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  H  =  A )
6158, 60syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
6257, 61unssd 3364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) 
C_  A )
6316, 62syl5eqss 3235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  C_  A )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  W  C_  A )
65 f1ss 5458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> W  /\  W  C_  A )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
6653, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
67 f1f 5453 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
69 fco 5414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> B  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W ) ) --> B )
7051, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B )
71 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  B )
7270, 71sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  B )
7326adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  H : A --> B )
74 fco 5414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A --> B  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( H  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W ) ) --> B )
7573, 68, 74syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( H  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B )
76 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( H  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  e.  B )
7775, 76sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  e.  B )
78 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
7951, 78syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  F  Fn  A )
80 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  ->  H  Fn  A )
8173, 80syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  H  Fn  A )
8221adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  A  e.  V )
83 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( # `  W
) )  e.  _V
8483a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
1 ... ( # `  W
) )  e.  _V )
85 inidm 3391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  A )  =  A
8679, 81, 68, 82, 82, 84, 85ofco 6113 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( F  o F 
.+  H )  o.  f )  =  ( ( F  o.  f
)  o F  .+  ( H  o.  f
) ) )
8786fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( ( F  o F  .+  H )  o.  f ) `  k
)  =  ( ( ( F  o.  f
)  o F  .+  ( H  o.  f
) ) `  k
) )
8887adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  o F  .+  H
)  o.  f ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f )  o F  .+  ( H  o.  f ) ) `
 k ) )
89 fnfco 5423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( F  o.  f )  Fn  (
1 ... ( # `  W
) ) )
9079, 68, 89syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  o.  f )  Fn  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
91 fnfco 5423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Fn  A  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )  ->  ( H  o.  f )  Fn  (
1 ... ( # `  W
) ) )
9281, 68, 91syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( H  o.  f )  Fn  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
93 inidm 3391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( # `  W ) )  i^i  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  =  ( 1 ... ( # `  W
) )
94 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  =  ( ( F  o.  f ) `
 k ) )
95 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  =  ( ( H  o.  f ) `
 k ) )
9690, 92, 84, 84, 93, 94, 95ofval 6103 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  f )  o F  .+  ( H  o.  f ) ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  k )  .+  (
( H  o.  f
) `  k )
) )
9788, 96eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  o F  .+  H
)  o.  f ) `
 k )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  k )  .+  (
( H  o.  f
) `  k )
) )
981ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  G  e.  Mnd )
99 elfzouz 10895 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
10099adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
101 elfzouz2 10904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )
102101adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
103 fzss2 10847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  ( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
105104sselda 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )
10672adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  B )
107105, 106syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k )  e.  B
)
1082, 6mndcl 14388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  k  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( k  .+  x
)  e.  B )
1091083expb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( k  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
k  .+  x )  e.  B )
11098, 109sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( k  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
k  .+  x )  e.  B )
111100, 107, 110seqcl 11082 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 n )  e.  B )
11277adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  k
)  e.  B )
113105, 112syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( H  o.  f ) `  k )  e.  B
)
114100, 113, 110seqcl 11082 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq  1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n )  e.  B )
115 fzofzp1 10932 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
116 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
11770, 115, 116syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
118 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> B  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
11975, 115, 118syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( H  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  B )
120 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( F `
 ( f `  ( n  +  1
) ) ) )
12168, 115, 120syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( F `
 ( f `  ( n  +  1
) ) ) )
122 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  A )
12368, 115, 122syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  A )
124 fzp1disj 10859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n )  i^i  { ( n  +  1 ) } )  =  (/)
125 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... n
)  i^i  { (
n  +  1 ) } )  =  (/)  <->  -.  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... n ) )
126124, 125mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... n )
12766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A )
128115adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )
129 f1elima 5803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  /\  (
1 ... n )  C_  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )  ->  ( (
f `  ( n  +  1 ) )  e.  ( f "
( 1 ... n
) )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... n
) ) )
130127, 128, 104, 129syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( f `  ( n  +  1
) )  e.  ( f " ( 1 ... n ) )  <-> 
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... n ) ) )
131126, 130mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  -.  ( f `  (
n  +  1 ) )  e.  ( f
" ( 1 ... n ) ) )
132 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  ( n  +  1 ) )  e.  ( A  \ 
( f " (
1 ... n ) ) )  <->  ( ( f `
 ( n  + 
1 ) )  e.  A  /\  -.  (
f `  ( n  +  1 ) )  e.  ( f "
( 1 ... n
) ) ) )
133123, 131, 132sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f `  (
n  +  1 ) )  e.  ( A 
\  ( f "
( 1 ... n
) ) ) )
134 gsumzaddlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  k  e.  ( A  \  x
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )
135134expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  ( k  e.  ( A  \  x
)  ->  ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
136135ralrimiv 2638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  A. k  e.  ( A  \  x
) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) )
137136ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
138137alrimiv 1621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x ( x 
C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x
) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } ) ) )
139138ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. x ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) ) )
140 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  C_  ran  f
14168adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A )
142 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) --> A  ->  ran  f  C_  A )
143141, 142syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  f  C_  A )
144140, 143syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f " (
1 ... n ) ) 
C_  A )
145 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
146 imaexg 5042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " ( 1 ... n ) )  e.  _V )
147145, 146ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  e. 
_V
148 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
x  C_  A  <->  ( f " ( 1 ... n ) )  C_  A ) )
149 difeq2 3301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )
150 reseq2 4966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( H  |`  x )  =  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )
151150oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  x
) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
152151sneqd 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) }  =  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } )
153152fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x
) ) } )  =  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } ) )
154153eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } )  <->  ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
155149, 154raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  ( A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  x ) ) } )  <->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
156148, 155imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )  <-> 
( ( f "
( 1 ... n
) )  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) ) )
157147, 156spcv 2887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  x ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  x ) ) } ) )  ->  ( ( f
" ( 1 ... n ) )  C_  A  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
158139, 144, 157sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. k  e.  ( A  \  ( f "
( 1 ... n
) ) ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } ) )
159 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  ( n  +  1
) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) ) )
160159eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  ( n  +  1
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } )  <->  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
161160rspcv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  ( n  +  1 ) )  e.  ( A  \ 
( f " (
1 ... n ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( A  \  ( f " (
1 ... n ) ) ) ( F `  k )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )  ->  ( F `  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `  { ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } ) ) )
162133, 158, 161sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( F `  (
f `  ( n  +  1 ) ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
163121, 162eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } ) )
164 gsumzadd.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  (Cntz `  G )
165147a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f " (
1 ... n ) )  e.  _V )
16626ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  H : A --> B )
167 fssres 5424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( f " (
1 ... n ) ) 
C_  A )  -> 
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) : ( f
" ( 1 ... n ) ) --> B )
168166, 144, 167syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) : ( f
" ( 1 ... n ) ) --> B )
169 gsumzaddlem.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
170169ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  H  C_  ( Z `  ran  H ) )
171 resss 4995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  H
172 rnss 4923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) ) 
C_  H  ->  ran  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) 
C_  ran  H )
173171, 172ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  ( H  |`  ( f "
( 1 ... n
) ) )  C_  ran  H
174164cntzidss 14829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  H  C_  ( Z `  ran  H )  /\  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  ran  H )  ->  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  C_  ( Z `  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) )
175170, 173, 174sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  ran  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  C_  ( Z `  ran  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) )
176100, 49syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  n  e.  NN )
177 f1ores 5503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-> A  /\  ( 1 ... n
)  C_  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) ) )
178127, 104, 177syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) ) )
179 f1of1 5487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  |`  ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( f " (
1 ... n ) )  ->  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) : ( 1 ... n )
-1-1-> ( f " (
1 ... n ) ) )
180178, 179syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( f  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -1-1-> ( f
" ( 1 ... n ) ) )
181 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) )
182 dmres 4992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  ( H  |`  ( f "
( 1 ... n
) ) )  =  ( ( f "
( 1 ... n
) )  i^i  dom  H )
183181, 182sseqtri 3223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( f " (
1 ... n ) )  i^i  dom  H )
184 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f " ( 1 ... n ) )  i^i  dom  H )  C_  ( f " (
1 ... n ) )
185 df-ima 4718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f
" ( 1 ... n ) )  =  ran  ( f  |`  ( 1 ... n
) )
186184, 185sseqtri 3223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " ( 1 ... n ) )  i^i  dom  H )  C_ 
ran  ( f  |`  ( 1 ... n
) )
187183, 186sstri 3201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  ( f  |`  (
1 ... n ) )
188187a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( `' ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  ( f  |`  (
1 ... n ) ) )
189 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( `' ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
1902, 3, 6, 164, 98, 165, 168, 175, 176, 180, 188, 189gsumval3 15207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) )  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) ) `
 n ) )
191185eqimss2i 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (
f  |`  ( 1 ... n ) )  C_  ( f " (
1 ... n ) )
192 cores 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  ( f  |`  (
1 ... n ) ) 
C_  ( f "
( 1 ... n
) )  ->  (
( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( H  o.  (
f  |`  ( 1 ... n ) ) ) )
193191, 192ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( H  o.  (
f  |`  ( 1 ... n ) ) )
194 resco 5193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  o.  f )  |`  ( 1 ... n
) )  =  ( H  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )
195193, 194eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) )  =  ( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) )
196195fveq1i 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) ) `
 k )
197 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( H  o.  f )  |`  (
1 ... n ) ) `
 k )  =  ( ( H  o.  f ) `  k
) )
198196, 197syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( H  o.  f
) `  k )
)
199198adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  ( ( H  o.  f
) `  k )
)
200100, 199seqfveq 11086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq  1 ( 
.+  ,  ( ( H  |`  ( f " ( 1 ... n ) ) )  o.  ( f  |`  ( 1 ... n
) ) ) ) `
 n )  =  (  seq  1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n ) )
201190, 200eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq  1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) )
202 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq  1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
)  e.  _V
203202elsnc 3676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  {
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) }  <->  (  seq  1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
)  =  ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) )
204201, 203sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
(  seq  1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n )  e. 
{ ( G  gsumg  ( H  |`  ( f " (
1 ... n ) ) ) ) } )
2056, 164cntzi 14821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( Z `
 { ( G 
gsumg  ( H  |`  ( f
" ( 1 ... n ) ) ) ) } )  /\  (  seq  1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n )  e.  {
( G  gsumg  ( H  |`  (
f " ( 1 ... n ) ) ) ) } )  ->  ( ( ( F  o.  f ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  (  seq  1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  n ) )  =  ( (  seq  1
(  .+  ,  ( H  o.  f )
) `  n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
206163, 204, 205syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  f ) `  ( n  +  1
) )  .+  (  seq  1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) )  =  ( (  seq  1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
207206eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( (  seq  1
(  .+  ,  ( H  o.  f )
) `  n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  .+  (  seq  1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) ) )
2082, 6, 98, 111, 114, 117, 119, 207mnd4g 14394 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  n  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( (  seq  1 (  .+  , 
( F  o.  f
) ) `  n
)  .+  (  seq  1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  n
) )  .+  (
( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( ( H  o.  f ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq  1 ( 
.+  ,  ( F  o.  f ) ) `
 n )  .+  ( ( F  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) )  .+  (
(  seq  1 ( 
.+  ,  ( H  o.  f ) ) `
 n )  .+  ( ( H  o.  f ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
20947, 47, 50, 72, 77, 97, 208seqcaopr3 11097 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (  seq  1 (  .+  , 
( ( F  o F  .+  H )  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  =  ( (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) )  .+  (  seq  1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
21046, 51, 73, 82, 82, 85off 6109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( F  o F  .+  H
) : A --> B )
211 gsumzaddlem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( F  o F  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  o F  .+  H
) ) )
212211adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  ( F  o F  .+  H )  C_  ( Z `  ran  ( F  o F  .+  H
) ) )
213 eldifi 3311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  \  ran  f )  ->  x  e.  A )
214 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 x ) )
215 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 x ) )
21679, 81, 82, 82, 85, 214, 215ofval 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  o F  .+  H ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  .+  ( H `  x ) ) )
217213, 216sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F  o F  .+  H
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) ) )
218 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  f :
( 1 ... ( # `
 W ) )
-onto-> W )
219 forn 5470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -onto-> W  ->  ran  f  =  W
)
220218, 219syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  ran  f  =  W )
221220ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  f  =  W )
22217, 221syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  f )
22351, 222suppssr 5675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( F `  x )  =  .0.  )
22428, 221syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' H " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ran  f )
22573, 224suppssr 5675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( H `  x )  =  .0.  )
226223, 225oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F `
 x )  .+  ( H `  x ) )  =  (  .0.  .+  .0.  ) )
2278ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  (  .0.  .+  .0.  )  =  .0.  )
228217, 226, 2273eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W ) )  /\  x  e.  ( A  \  ran  f ) )  ->  ( ( F  o F  .+  H
) `  x )  =  .0.  )
229210, 228suppss 5674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( `' ( F  o F  .+  H ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ran  f )
230 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( `' ( ( F  o F  .+  H )  o.  f ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( ( F  o F  .+  H
)  o.  f )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )
2312, 3, 6, 164, 43, 82, 210, 212, 48, 66, 229, 230gsumval3 15207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  (  seq  1
(  .+  ,  (
( F  o F 
.+  H )  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
232 gsumzaddlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Z `  ran  F ) )
233232adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  F 
C_  ( Z `  ran  F ) )
234 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  o.  f
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( F  o.  f ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )
2352, 3, 6, 164, 43, 82, 51, 233, 48, 66, 222, 234gsumval3 15207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
236169adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ran  H 
C_  ( Z `  ran  H ) )
237 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( H  o.  f
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( H  o.  f ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )
2382, 3, 6, 164, 43, 82, 73, 236, 48, 66, 224, 237gsumval3 15207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  H )  =  (  seq  1 (  .+  ,  ( H  o.  f ) ) `  ( # `  W ) ) )
239235, 238oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) )  =  ( (  seq  1
(  .+  ,  ( F  o.  f )
) `  ( # `  W
) )  .+  (  seq  1 (  .+  , 
( H  o.  f
) ) `  ( # `
 W ) ) ) )
240209, 231, 2393eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 W )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
241240expr 598 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W  ->  ( G  gsumg  ( F  o F  .+  H
) )  =  ( ( G  gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
242241exlimdv 1626 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  W
) ) -1-1-onto-> W  ->  ( G  gsumg  ( F  o F  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
243242expimpd 586 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  W )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 W ) ) -1-1-onto-> W )  ->  ( G  gsumg  ( F  o F  .+  H ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) ) )
244 gsumzadd.fn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
245 gsumzadd.hn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
246 unfi 7140 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' H " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )  -> 
( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
247244, 245, 246syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' H "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
24816, 247syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
249 fz1f1o 12199 . . 3  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( W  =  (/)  \/  (
( # `  W )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
250248, 249syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  \/  ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  W ) ) -1-1-onto-> W ) ) )
25142, 243, 250mpjaod 370 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  o F 
.+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Fincfn 6879   1c1 8754    + caddc 8756   NNcn 9762   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886    seq cseq 11062   #chash 11353   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377  Cntzccntz 14807
This theorem is referenced by:  gsumzadd  15220  dprdfadd  15271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-cntz 14809
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