Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzinv Structured version   Unicode version

Theorem gsumzinv 15540
 Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzinv.b
gsumzinv.0
gsumzinv.z Cntz
gsumzinv.p
gsumzinv.g
gsumzinv.a
gsumzinv.f
gsumzinv.c
gsumzinv.n
Assertion
Ref Expression
gsumzinv g g

Proof of Theorem gsumzinv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzinv.b . . 3
2 gsumzinv.0 . . 3
3 gsumzinv.z . . 3 Cntz
4 eqid 2436 . . 3 oppg oppg
5 gsumzinv.g . . . 4
6 grpmnd 14817 . . . 4
75, 6syl 16 . . 3
8 gsumzinv.a . . 3
9 gsumzinv.p . . . . . 6
101, 9grpinvf 14849 . . . . 5
115, 10syl 16 . . . 4
12 gsumzinv.f . . . 4
13 fco 5600 . . . 4
1411, 12, 13syl2anc 643 . . 3
154, 9invoppggim 15156 . . . . . . 7 GrpIso oppg
165, 15syl 16 . . . . . 6 GrpIso oppg
17 gimghm 15051 . . . . . 6 GrpIso oppg oppg
18 ghmmhm 15016 . . . . . 6 oppg MndHom oppg
1916, 17, 183syl 19 . . . . 5 MndHom oppg
20 gsumzinv.c . . . . 5
21 eqid 2436 . . . . . 6 Cntzoppg Cntzoppg
223, 21cntzmhm2 15138 . . . . 5 MndHom oppg Cntzoppg
2319, 20, 22syl2anc 643 . . . 4 Cntzoppg
24 rnco2 5377 . . . 4
2524fveq2i 5731 . . . . 5
264, 3oppgcntz 15160 . . . . 5 Cntzoppg
2725, 26eqtri 2456 . . . 4 Cntzoppg
2823, 24, 273sstr4g 3389 . . 3
29 gsumzinv.n . . . 4
30 eldifi 3469 . . . . . . 7
31 fvco3 5800 . . . . . . 7
3212, 30, 31syl2an 464 . . . . . 6
33 ssid 3367 . . . . . . . . 9
3433a1i 11 . . . . . . . 8
3512, 34suppssr 5864 . . . . . . 7
3635fveq2d 5732 . . . . . 6
372, 9grpinvid 14856 . . . . . . . 8
385, 37syl 16 . . . . . . 7
3938adantr 452 . . . . . 6
4032, 36, 393eqtrd 2472 . . . . 5
4114, 40suppss 5863 . . . 4
42 ssfi 7329 . . . 4
4329, 41, 42syl2anc 643 . . 3
441, 2, 3, 4, 7, 8, 14, 28, 43gsumzoppg 15539 . 2 oppg g g
454oppgmnd 15150 . . . 4 oppg
467, 45syl 16 . . 3 oppg
471, 3, 7, 46, 8, 19, 12, 20, 2, 29gsumzmhm 15533 . 2 oppg g g
4844, 47eqtr3d 2470 1 g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  csn 3814  ccnv 4877   crn 4879  cima 4881   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  cbs 13469  c0g 13723   g cgsu 13724  cmnd 14684  cgrp 14685  cminusg 14686   MndHom cmhm 14736   cghm 15003   GrpIso cgim 15044  Cntzccntz 15114  oppgcoppg 15141 This theorem is referenced by:  dprdfinv  15577 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-ghm 15004  df-gim 15046  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-cmn 15414
 Copyright terms: Public domain W3C validator