Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzmhm Structured version   Unicode version

Theorem gsumzmhm 15533
 Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzmhm.b
gsumzmhm.z Cntz
gsumzmhm.g
gsumzmhm.h
gsumzmhm.a
gsumzmhm.k MndHom
gsumzmhm.f
gsumzmhm.c
gsumzmhm.0
gsumzmhm.w
Assertion
Ref Expression
gsumzmhm g g

Proof of Theorem gsumzmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzmhm.h . . . . . . 7
2 gsumzmhm.a . . . . . . 7
3 eqid 2436 . . . . . . . 8
43gsumz 14781 . . . . . . 7 g
51, 2, 4syl2anc 643 . . . . . 6 g
65adantr 452 . . . . 5 g
7 gsumzmhm.k . . . . . . 7 MndHom
8 gsumzmhm.0 . . . . . . . 8
98, 3mhm0 14746 . . . . . . 7 MndHom
107, 9syl 16 . . . . . 6
1110adantr 452 . . . . 5
126, 11eqtr4d 2471 . . . 4 g
13 gsumzmhm.g . . . . . . . . 9
14 gsumzmhm.b . . . . . . . . . 10
1514, 8mndidcl 14714 . . . . . . . . 9
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8
1716ad2antrr 707 . . . . . . 7
18 gsumzmhm.f . . . . . . . 8
19 ssid 3367 . . . . . . . . 9
2019a1i 11 . . . . . . . 8
2118, 20gsumcllem 15516 . . . . . . 7
22 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
2314, 22mhmf 14743 . . . . . . . . . 10 MndHom
247, 23syl 16 . . . . . . . . 9
2524feqmptd 5779 . . . . . . . 8
2625adantr 452 . . . . . . 7
27 fveq2 5728 . . . . . . 7
2817, 21, 26, 27fmptco 5901 . . . . . 6
2910mpteq2dv 4296 . . . . . . 7
3029adantr 452 . . . . . 6
3128, 30eqtrd 2468 . . . . 5
3231oveq2d 6097 . . . 4 g g
3321oveq2d 6097 . . . . . 6 g g
348gsumz 14781 . . . . . . . 8 g
3513, 2, 34syl2anc 643 . . . . . . 7 g
3635adantr 452 . . . . . 6 g
3733, 36eqtrd 2468 . . . . 5 g
3837fveq2d 5732 . . . 4 g
3912, 32, 383eqtr4d 2478 . . 3 g g
4039ex 424 . 2 g g
4113adantr 452 . . . . . . . 8
42 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
4314, 42mndcl 14695 . . . . . . . . 9
44433expb 1154 . . . . . . . 8
4541, 44sylan 458 . . . . . . 7
4618adantr 452 . . . . . . . . 9
47 f1of1 5673 . . . . . . . . . . . 12
4847ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11
49 cnvimass 5224 . . . . . . . . . . . 12
50 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . 13
5146, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5249, 51syl5sseq 3396 . . . . . . . . . . 11
53 f1ss 5644 . . . . . . . . . . 11
5448, 52, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
55 f1f 5639 . . . . . . . . . 10
5654, 55syl 16 . . . . . . . . 9
57 fco 5600 . . . . . . . . 9
5846, 56, 57syl2anc 643 . . . . . . . 8
5958ffvelrnda 5870 . . . . . . 7
60 simprl 733 . . . . . . . 8
61 nnuz 10521 . . . . . . . 8
6260, 61syl6eleq 2526 . . . . . . 7
637adantr 452 . . . . . . . 8 MndHom
64 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
6514, 42, 64mhmlin 14745 . . . . . . . . 9 MndHom
66653expb 1154 . . . . . . . 8 MndHom
6763, 66sylan 458 . . . . . . 7
68 coass 5388 . . . . . . . . 9
6968fveq1i 5729 . . . . . . . 8
70 fvco3 5800 . . . . . . . . 9
7158, 70sylan 458 . . . . . . . 8
7269, 71syl5req 2481 . . . . . . 7
7345, 59, 62, 67, 72seqhomo 11370 . . . . . 6
74 gsumzmhm.z . . . . . . . 8 Cntz
752adantr 452 . . . . . . . 8
76 gsumzmhm.c . . . . . . . . 9
7776adantr 452 . . . . . . . 8
7819a1i 11 . . . . . . . . 9
79 f1ofo 5681 . . . . . . . . . . 11
80 forn 5656 . . . . . . . . . . 11
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . 10
8281ad2antll 710 . . . . . . . . 9
8378, 82sseqtr4d 3385 . . . . . . . 8
84 eqid 2436 . . . . . . . 8
8514, 8, 42, 74, 41, 75, 46, 77, 60, 54, 83, 84gsumval3 15514 . . . . . . 7 g
8685fveq2d 5732 . . . . . 6 g
87 eqid 2436 . . . . . . 7 Cntz Cntz
881adantr 452 . . . . . . 7
8924adantr 452 . . . . . . . 8
90 fco 5600 . . . . . . . 8
9189, 46, 90syl2anc 643 . . . . . . 7
9274, 87cntzmhm2 15138 . . . . . . . . 9 MndHom Cntz
9363, 77, 92syl2anc 643 . . . . . . . 8 Cntz
94 rnco2 5377 . . . . . . . 8
9594fveq2i 5731 . . . . . . . 8 Cntz Cntz
9693, 94, 953sstr4g 3389 . . . . . . 7 Cntz
97 eldifi 3469 . . . . . . . . . . 11
98 fvco3 5800 . . . . . . . . . . 11
9946, 97, 98syl2an 464 . . . . . . . . . 10
10046, 78suppssr 5864 . . . . . . . . . . 11
101100fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
10210ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
10399, 101, 1023eqtrd 2472 . . . . . . . . 9
10491, 103suppss 5863 . . . . . . . 8
105104, 82sseqtr4d 3385 . . . . . . 7
106 eqid 2436 . . . . . . 7
10722, 3, 64, 87, 88, 75, 91, 96, 60, 54, 105, 106gsumval3 15514 . . . . . 6 g
10873, 86, 1073eqtr4rd 2479 . . . . 5 g g
109108expr 599 . . . 4 g g
110109exlimdv 1646 . . 3 g g
111110expimpd 587 . 2 g g
112 gsumzmhm.w . . 3
113 fz1f1o 12504 . . 3
114112, 113syl 16 . 2
11540, 111, 114mpjaod 371 1 g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  c0 3628  csn 3814   cmpt 4266  ccnv 4877   cdm 4878   crn 4879  cima 4881   ccom 4882  wf 5450  wf1 5451  wfo 5452  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  c1 8991  cn 10000  cuz 10488  cfz 11043   cseq 11323  chash 11618  cbs 13469   cplusg 13529  c0g 13723   g cgsu 13724  cmnd 14684   MndHom cmhm 14736  Cntzccntz 15114 This theorem is referenced by:  gsummhm  15534  gsumzinv  15540 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-cntz 15116
 Copyright terms: Public domain W3C validator