Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsplit Unicode version

Theorem gsumzsplit 15222
 Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsplit.b
gsumzsplit.0
gsumzsplit.p
gsumzsplit.z Cntz
gsumzsplit.g
gsumzsplit.a
gsumzsplit.f
gsumzsplit.c
gsumzsplit.w
gsumzsplit.i
gsumzsplit.u
Assertion
Ref Expression
gsumzsplit g g g

Proof of Theorem gsumzsplit
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzsplit.b . . 3
2 gsumzsplit.0 . . 3
3 gsumzsplit.p . . 3
4 gsumzsplit.z . . 3 Cntz
5 gsumzsplit.g . . 3
6 gsumzsplit.a . . 3
7 gsumzsplit.w . . . 4
8 gsumzsplit.f . . . . . . . 8
9 ssid 3210 . . . . . . . . 9
109a1i 10 . . . . . . . 8
118, 10suppssr 5675 . . . . . . 7
1211ifeq1d 3592 . . . . . 6
13 ifid 3610 . . . . . 6
1412, 13syl6eq 2344 . . . . 5
1514suppss2 6089 . . . 4
16 ssfi 7099 . . . 4
177, 15, 16syl2anc 642 . . 3
1811ifeq1d 3592 . . . . . 6
19 ifid 3610 . . . . . 6
2018, 19syl6eq 2344 . . . . 5
2120suppss2 6089 . . . 4
22 ssfi 7099 . . . 4
237, 21, 22syl2anc 642 . . 3
241submacs 14458 . . . . 5 SubMnd ACS
25 acsmre 13570 . . . . 5 SubMnd ACS SubMnd Moore
265, 24, 253syl 18 . . . 4 SubMnd Moore
27 frn 5411 . . . . 5
288, 27syl 15 . . . 4
29 eqid 2296 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3029mrccl 13529 . . . 4 SubMnd Moore mrClsSubMnd SubMnd
3126, 28, 30syl2anc 642 . . 3 mrClsSubMnd SubMnd
32 gsumzsplit.c . . . . 5
33 eqid 2296 . . . . . 6 s mrClsSubMnd s mrClsSubMnd
344, 29, 33cntzspan 15153 . . . . 5 s mrClsSubMnd CMnd
355, 32, 34syl2anc 642 . . . 4 s mrClsSubMnd CMnd
3633, 4submcmn2 15151 . . . . 5 mrClsSubMnd SubMnd s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3731, 36syl 15 . . . 4 s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3835, 37mpbid 201 . . 3 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3929mrcssid 13535 . . . . . . . 8 SubMnd Moore mrClsSubMnd
4026, 28, 39syl2anc 642 . . . . . . 7 mrClsSubMnd
4140adantr 451 . . . . . 6 mrClsSubMnd
42 ffn 5405 . . . . . . . 8
438, 42syl 15 . . . . . . 7
44 fnfvelrn 5678 . . . . . . 7
4543, 44sylan 457 . . . . . 6
4641, 45sseldd 3194 . . . . 5 mrClsSubMnd
472subm0cl 14445 . . . . . . 7 mrClsSubMnd SubMnd mrClsSubMnd
4831, 47syl 15 . . . . . 6 mrClsSubMnd
4948adantr 451 . . . . 5 mrClsSubMnd
50 ifcl 3614 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5146, 49, 50syl2anc 642 . . . 4 mrClsSubMnd
52 eqid 2296 . . . 4
5351, 52fmptd 5700 . . 3 mrClsSubMnd
54 ifcl 3614 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5546, 49, 54syl2anc 642 . . . 4 mrClsSubMnd
56 eqid 2296 . . . 4
5755, 56fmptd 5700 . . 3 mrClsSubMnd
581, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 23, 31, 38, 53, 57gsumzadd 15220 . 2 g g g
598feqmptd 5591 . . . . 5
60 iftrue 3584 . . . . . . . . . 10
6160adantl 452 . . . . . . . . 9
62 gsumzsplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15
63 noel 3472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6563, 64mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . 15
6662, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
68 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 68sylnib 295 . . . . . . . . . . . 12
70 imnan 411 . . . . . . . . . . . 12
7169, 70sylibr 203 . . . . . . . . . . 11
7271imp 418 . . . . . . . . . 10
73 iffalse 3585 . . . . . . . . . 10
7472, 73syl 15 . . . . . . . . 9
7561, 74oveq12d 5892 . . . . . . . 8
76 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
778, 76sylan 457 . . . . . . . . . 10
781, 3, 2mndrid 14410 . . . . . . . . . . 11
795, 78sylan 457 . . . . . . . . . 10
8077, 79syldan 456 . . . . . . . . 9
8180adantr 451 . . . . . . . 8
8275, 81eqtrd 2328 . . . . . . 7
8371con2d 107 . . . . . . . . . . 11
8483imp 418 . . . . . . . . . 10
85 iffalse 3585 . . . . . . . . . 10
8684, 85syl 15 . . . . . . . . 9
87 iftrue 3584 . . . . . . . . . 10
8887adantl 452 . . . . . . . . 9
8986, 88oveq12d 5892 . . . . . . . 8
901, 3, 2mndlid 14409 . . . . . . . . . . 11
915, 90sylan 457 . . . . . . . . . 10
9277, 91syldan 456 . . . . . . . . 9
9392adantr 451 . . . . . . . 8
9489, 93eqtrd 2328 . . . . . . 7
95 gsumzsplit.u . . . . . . . . . 10
9695eleq2d 2363 . . . . . . . . 9
97 elun 3329 . . . . . . . . 9
9896, 97syl6bb 252 . . . . . . . 8
9998biimpa 470 . . . . . . 7
10082, 94, 99mpjaodan 761 . . . . . 6
101100mpteq2dva 4122 . . . . 5
10259, 101eqtr4d 2331 . . . 4
1031, 2mndidcl 14407 . . . . . . . 8
1045, 103syl 15 . . . . . . 7
105104adantr 451 . . . . . 6
106 ifcl 3614 . . . . . 6
10777, 105, 106syl2anc 642 . . . . 5
108 ifcl 3614 . . . . . 6
10977, 105, 108syl2anc 642 . . . . 5
110 eqidd 2297 . . . . 5
111 eqidd 2297 . . . . 5
1126, 107, 109, 110, 111offval2 6111 . . . 4
113102, 112eqtr4d 2331 . . 3
114113oveq2d 5890 . 2 g g
11559reseq1d 4970 . . . . . 6
116 ssun1 3351 . . . . . . . 8
117116, 95syl5sseqr 3240 . . . . . . 7
11860mpteq2ia 4118 . . . . . . . 8
119 resmpt 5016 . . . . . . . 8
120 resmpt 5016 . . . . . . . 8
121118, 119, 1203eqtr4a 2354 . . . . . . 7
122117, 121syl 15 . . . . . 6
123115, 122eqtr4d 2331 . . . . 5
124123oveq2d 5890 . . . 4 g g
125107, 52fmptd 5700 . . . . 5
126 frn 5411 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
12753, 126syl 15 . . . . . 6 mrClsSubMnd
1284cntzidss 14829 . . . . . 6 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
12938, 127, 128syl2anc 642 . . . . 5
130 eldifn 3312 . . . . . . . 8
131130adantl 452 . . . . . . 7
132131, 85syl 15 . . . . . 6
133132suppss2 6089 . . . . 5
1341, 2, 4, 5, 6, 125, 129, 133, 17gsumzres 15210 . . . 4 g g
135124, 134eqtrd 2328 . . 3 g g
13659reseq1d 4970 . . . . . 6
137 ssun2 3352 . . . . . . . 8
138137, 95syl5sseqr 3240 . . . . . . 7
13987mpteq2ia 4118 . . . . . . . 8
140 resmpt 5016 . . . . . . . 8
141 resmpt 5016 . . . . . . . 8
142139, 140, 1413eqtr4a 2354 . . . . . . 7
143138, 142syl 15 . . . . . 6
144136, 143eqtr4d 2331 . . . . 5
145144oveq2d 5890 . . . 4 g g
146109, 56fmptd 5700 . . . . 5
147 frn 5411 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
14857, 147syl 15 . . . . . 6 mrClsSubMnd
1494cntzidss 14829 . . . . . 6 mrClsSubMnd mrClsSubMnd mrClsSubMnd
15038, 148, 149syl2anc 642 . . . . 5
151 eldifn 3312 . . . . . . . 8
152151adantl 452 . . . . . . 7
153152, 73syl 15 . . . . . 6
154153suppss2 6089 . . . . 5
1551, 2, 4, 5, 6, 146, 150, 154, 23gsumzres 15210 . . . 4 g g
156145, 155eqtrd 2328 . . 3 g g
157135, 156oveq12d 5892 . 2 g g g g
15858, 114, 1573eqtr4d 2338 1 g g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cif 3578  csn 3653   cmpt 4093  ccnv 4704   crn 4706   cres 4707  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cfn 6879  cbs 13164   ↾s cress 13165   cplusg 13224  c0g 13416   g cgsu 13417  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  ACScacs 13503  cmnd 14377  SubMndcsubmnd 14430  Cntzccntz 14807  CMndccmn 15105 This theorem is referenced by:  gsumsplit  15223  dpjidcl  15309 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-cntz 14809  df-cmn 15107
 Copyright terms: Public domain W3C validator