Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsubmcl Unicode version

Theorem gsumzsubmcl 15249
 Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsubmcl.0
gsumzsubmcl.z Cntz
gsumzsubmcl.g
gsumzsubmcl.a
gsumzsubmcl.s SubMnd
gsumzsubmcl.f
gsumzsubmcl.c
gsumzsubmcl.w
Assertion
Ref Expression
gsumzsubmcl g

Proof of Theorem gsumzsubmcl
StepHypRef Expression
1 gsumzsubmcl.a . . 3
2 gsumzsubmcl.s . . 3 SubMnd
3 gsumzsubmcl.f . . 3
4 eqid 2316 . . 3 s s
51, 2, 3, 4gsumsubm 14504 . 2 g s g
6 eqid 2316 . . . 4 s s
7 eqid 2316 . . . 4 s s
8 eqid 2316 . . . 4 Cntzs Cntzs
94submmnd 14480 . . . . 5 SubMnd s
102, 9syl 15 . . . 4 s
114submbas 14481 . . . . . . 7 SubMnd s
122, 11syl 15 . . . . . 6 s
13 feq3 5414 . . . . . 6 s s
1412, 13syl 15 . . . . 5 s
153, 14mpbid 201 . . . 4 s
16 gsumzsubmcl.c . . . . . 6
17 frn 5433 . . . . . . 7
183, 17syl 15 . . . . . 6
1916, 18ssind 3427 . . . . 5
20 gsumzsubmcl.z . . . . . . 7 Cntz
214, 20, 8resscntz 14856 . . . . . 6 SubMnd Cntzs
222, 18, 21syl2anc 642 . . . . 5 Cntzs
2319, 22sseqtr4d 3249 . . . 4 Cntzs
24 gsumzsubmcl.0 . . . . . . . . . 10
254, 24subm0 14482 . . . . . . . . 9 SubMnd s
262, 25syl 15 . . . . . . . 8 s
2726sneqd 3687 . . . . . . 7 s
2827difeq2d 3328 . . . . . 6 s
2928imaeq2d 5049 . . . . 5 s
30 gsumzsubmcl.w . . . . 5
3129, 30eqeltrrd 2391 . . . 4 s
326, 7, 8, 10, 1, 15, 23, 31gsumzcl 15244 . . 3 s g s
3332, 12eleqtrrd 2393 . 2 s g
345, 33eqeltrd 2390 1 g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wceq 1633   wcel 1701  cvv 2822   cdif 3183   cin 3185   wss 3186  csn 3674  ccnv 4725   crn 4727  cima 4729  wf 5288  cfv 5292  (class class class)co 5900  cfn 6906  cbs 13195   ↾s cress 13196  c0g 13449   g cgsu 13450  cmnd 14410  SubMndcsubmnd 14463  Cntzccntz 14840 This theorem is referenced by:  gsumsubmcl  15250  gsumzadd  15253  dprdfadd  15304  dprdfeq0  15306  dprdlub  15310 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-hash 11385  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-cntz 14842
 Copyright terms: Public domain W3C validator