Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsubmcl Structured version   Unicode version

Theorem gsumzsubmcl 15525
 Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsubmcl.0
gsumzsubmcl.z Cntz
gsumzsubmcl.g
gsumzsubmcl.a
gsumzsubmcl.s SubMnd
gsumzsubmcl.f
gsumzsubmcl.c
gsumzsubmcl.w
Assertion
Ref Expression
gsumzsubmcl g

Proof of Theorem gsumzsubmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3 s s
2 eqid 2438 . . 3 s s
3 eqid 2438 . . 3 Cntzs Cntzs
4 gsumzsubmcl.s . . . 4 SubMnd
5 eqid 2438 . . . . 5 s s
65submmnd 14756 . . . 4 SubMnd s
74, 6syl 16 . . 3 s
8 gsumzsubmcl.a . . 3
9 gsumzsubmcl.f . . . 4
105submbas 14757 . . . . . 6 SubMnd s
114, 10syl 16 . . . . 5 s
12 feq3 5580 . . . . 5 s s
1311, 12syl 16 . . . 4 s
149, 13mpbid 203 . . 3 s
15 gsumzsubmcl.c . . . . 5
16 frn 5599 . . . . . 6
179, 16syl 16 . . . . 5
1815, 17ssind 3567 . . . 4
19 gsumzsubmcl.z . . . . . 6 Cntz
205, 19, 3resscntz 15132 . . . . 5 SubMnd Cntzs
214, 17, 20syl2anc 644 . . . 4 Cntzs
2218, 21sseqtr4d 3387 . . 3 Cntzs
23 gsumzsubmcl.0 . . . . . . . . 9
245, 23subm0 14758 . . . . . . . 8 SubMnd s
254, 24syl 16 . . . . . . 7 s
2625sneqd 3829 . . . . . 6 s
2726difeq2d 3467 . . . . 5 s
2827imaeq2d 5205 . . . 4 s
29 gsumzsubmcl.w . . . 4
3028, 29eqeltrrd 2513 . . 3 s
311, 2, 3, 7, 8, 14, 22, 30gsumzcl 15520 . 2 s g s
328, 4, 9, 5gsumsubm 14780 . 2 g s g
3331, 32, 113eltr4d 2519 1 g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cdif 3319   cin 3321   wss 3322  csn 3816  ccnv 4879   crn 4881  cima 4883  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111  cbs 13471   ↾s cress 13472  c0g 13725   g cgsu 13726  cmnd 14686  SubMndcsubmnd 14739  Cntzccntz 15116 This theorem is referenced by:  gsumsubmcl  15526  gsumzadd  15529  dprdfadd  15580  dprdfeq0  15582  dprdlub  15586 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-cntz 15118
 Copyright terms: Public domain W3C validator