MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0 Unicode version

Theorem gt0ne0 9457
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0
StepHypRef Expression
1 0re 9055 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
3 ltne 9134 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
42, 3sylan 458 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180   RRcr 8953   0cc0 8954    < clt 9084
This theorem is referenced by:  recgt0  9818  lemul1  9826  lediv1  9839  gt0div  9840  ge0div  9841  ltdivmul  9846  ledivmul  9847  ledivmulOLD  9848  lt2mul2div  9850  lemuldiv  9853  ltdiv2  9859  ltrec1  9861  lerec2  9862  ledivdiv  9863  lediv2  9864  ltdiv23  9865  lediv23  9866  lediv12a  9867  recreclt  9873  nnrecl  10183  elnnz  10256  recnz  10309  rpne0  10591  resqrex  12019  sqrgt0  12027  argregt0  20466  argimgt0  20468  logneg2  20471  logcnlem3  20496  atanlogsublem  20716  leopmul  23598  cdj1i  23897  lediv2aALT  25078  divelunit  25146  mulge0b  25152  nndivlub  26120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-ltxr 9089
  Copyright terms: Public domain W3C validator