MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0d Unicode version

Theorem gt0ne0d 9353
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
gt0ne0d.1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
gt0ne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0d
StepHypRef Expression
1 0re 8854 . 2  |-  0  e.  RR
2 gt0ne0d.1 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
3 ltne 8933 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
41, 2, 3sylancr 644 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   RRcr 8752   0cc0 8753    < clt 8883
This theorem is referenced by:  recextlem2  9415  prodgt0  9617  ltdiv1  9636  ltmuldiv  9642  ltrec  9653  lerec  9654  lediv12a  9665  recp1lt1  9670  ledivp1  9674  supmul1  9735  rpnnen1lem5  10362  ltexp2a  11169  leexp2  11172  leexp2a  11173  expnbnd  11246  expmulnbnd  11249  discr1  11253  eqsqr2d  11868  isabvd  15601  gzrngunit  16453  stdbdxmet  18077  evth  18473  itg2monolem3  19123  mvth  19355  dvlip  19356  dvcvx  19383  ftc1lem4  19402  dgradd2  19665  radcnvlem1  19805  pilem2  19844  coseq00topi  19886  tangtx  19889  tanabsge  19890  tanord1  19915  logcnlem4  20008  cxplt  20057  atantan  20235  jensenlem2  20298  jensen  20299  basellem3  20336  basellem4  20337  basellem8  20341  dchrmusumlema  20658  selberg3lem1  20722  abvcxp  20780  ostth2  20802  his6  21694  eigrei  22430  xrge0iifcv  23331  faclimlem6  24122  faclimlem9  24125  axsegconlem8  24624  axsegconlem9  24625  axsegconlem10  24626  axpaschlem  24640  axcontlem2  24665  axcontlem4  24667  axcontlem7  24670  bpoly4  24866  itg2addnclem  25003  ftc1cnnclem  25024  areacirclem2  25028  lvsovso  25729  irrapxlem2  27011  irrapxlem5  27014  pellexlem2  27018  stoweidlem36  27888  wallispilem3  27919  wallispilem4  27920  wallispi2lem1  27923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator