MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0d Unicode version

Theorem gt0ne0d 9337
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
gt0ne0d.1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
gt0ne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0d
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . 2  |-  0  e.  RR
2 gt0ne0d.1 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
3 ltne 8917 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
41, 2, 3sylancr 644 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   RRcr 8736   0cc0 8737    < clt 8867
This theorem is referenced by:  recextlem2  9399  prodgt0  9601  ltdiv1  9620  ltmuldiv  9626  ltrec  9637  lerec  9638  lediv12a  9649  recp1lt1  9654  ledivp1  9658  supmul1  9719  rpnnen1lem5  10346  ltexp2a  11153  leexp2  11156  leexp2a  11157  expnbnd  11230  expmulnbnd  11233  discr1  11237  eqsqr2d  11852  isabvd  15585  gzrngunit  16437  stdbdxmet  18061  evth  18457  itg2monolem3  19107  mvth  19339  dvlip  19340  dvcvx  19367  ftc1lem4  19386  dgradd2  19649  radcnvlem1  19789  pilem2  19828  coseq00topi  19870  tangtx  19873  tanabsge  19874  tanord1  19899  logcnlem4  19992  cxplt  20041  atantan  20219  jensenlem2  20282  jensen  20283  basellem3  20320  basellem4  20321  basellem8  20325  dchrmusumlema  20642  selberg3lem1  20706  abvcxp  20764  ostth2  20786  his6  21678  eigrei  22414  xrge0iifcv  23316  axsegconlem8  24552  axsegconlem9  24553  axsegconlem10  24554  axpaschlem  24568  axcontlem2  24593  axcontlem4  24595  axcontlem7  24598  bpoly4  24794  areacirclem2  24925  lvsovso  25626  irrapxlem2  26908  irrapxlem5  26911  pellexlem2  26915  stoweidlem36  27785  wallispilem3  27816  wallispilem4  27817  wallispi2lem1  27820
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator