MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0d Structured version   Unicode version

Theorem gt0ne0d 9584
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
gt0ne0d.1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
gt0ne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0d
StepHypRef Expression
1 0re 9084 . 2  |-  0  e.  RR
2 gt0ne0d.1 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
3 ltne 9163 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
41, 2, 3sylancr 645 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4205   RRcr 8982   0cc0 8983    < clt 9113
This theorem is referenced by:  recextlem2  9646  prodgt0  9848  ltdiv1  9867  ltmuldiv  9873  ltrec  9884  lerec  9885  lediv12a  9896  recp1lt1  9901  ledivp1  9905  supmul1  9966  rpnnen1lem5  10597  ltexp2a  11424  leexp2  11427  leexp2a  11428  expnbnd  11501  expmulnbnd  11504  discr1  11508  eqsqr2d  12165  isabvd  15901  gzrngunit  16757  stdbdxmet  18538  evth  18977  itg2monolem3  19637  mvth  19869  dvlip  19870  dvcvx  19897  ftc1lem4  19916  dgradd2  20179  radcnvlem1  20322  pilem2  20361  coseq00topi  20403  tangtx  20406  tanabsge  20407  tanord1  20432  logcnlem4  20529  cxplt  20578  atantan  20756  jensenlem2  20819  jensen  20820  basellem3  20858  basellem4  20859  basellem8  20863  dchrmusumlema  21180  selberg3lem1  21244  abvcxp  21302  ostth2  21324  his6  22594  eigrei  23330  xrge0iifcv  24313  lgamgulmlem2  24807  axsegconlem8  25856  axsegconlem9  25857  axsegconlem10  25858  axpaschlem  25872  axcontlem2  25897  axcontlem4  25899  axcontlem7  25902  bpoly4  26098  ftc1cnnclem  26269  areacirclem2  26283  irrapxlem2  26878  irrapxlem5  26881  pellexlem2  26885  stoweidlem7  27724  stoweidlem36  27753  wallispilem3  27784  wallispilem4  27785  wallispi2lem1  27788  wallispi2lem2  27789  stirlinglem3  27793  stirlinglem6  27796  stirlinglem7  27797  stirlinglem10  27800  stirlinglem11  27801  stirlinglem12  27802  stirlinglem13  27803  stirlinglem14  27804  stirlinglem15  27805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-ltxr 9118
  Copyright terms: Public domain W3C validator