MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0d Unicode version

Theorem gt0ne0d 9523
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
gt0ne0d.1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
gt0ne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0d
StepHypRef Expression
1 0re 9024 . 2  |-  0  e.  RR
2 gt0ne0d.1 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
3 ltne 9103 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
41, 2, 3sylancr 645 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717    =/= wne 2550   class class class wbr 4153   RRcr 8922   0cc0 8923    < clt 9053
This theorem is referenced by:  recextlem2  9585  prodgt0  9787  ltdiv1  9806  ltmuldiv  9812  ltrec  9823  lerec  9824  lediv12a  9835  recp1lt1  9840  ledivp1  9844  supmul1  9905  rpnnen1lem5  10536  ltexp2a  11358  leexp2  11361  leexp2a  11362  expnbnd  11435  expmulnbnd  11438  discr1  11442  eqsqr2d  12099  isabvd  15835  gzrngunit  16687  stdbdxmet  18435  evth  18855  itg2monolem3  19511  mvth  19743  dvlip  19744  dvcvx  19771  ftc1lem4  19790  dgradd2  20053  radcnvlem1  20196  pilem2  20235  coseq00topi  20277  tangtx  20280  tanabsge  20281  tanord1  20306  logcnlem4  20403  cxplt  20452  atantan  20630  jensenlem2  20693  jensen  20694  basellem3  20732  basellem4  20733  basellem8  20737  dchrmusumlema  21054  selberg3lem1  21118  abvcxp  21176  ostth2  21198  his6  22449  eigrei  23185  xrge0iifcv  24124  lgamgulmlem2  24593  axsegconlem8  25577  axsegconlem9  25578  axsegconlem10  25579  axpaschlem  25593  axcontlem2  25618  axcontlem4  25620  axcontlem7  25623  bpoly4  25819  itg2addnclem  25957  ftc1cnnclem  25978  areacirclem2  25982  irrapxlem2  26577  irrapxlem5  26580  pellexlem2  26584  stoweidlem7  27424  stoweidlem36  27453  wallispilem3  27484  wallispilem4  27485  wallispi2lem1  27488  wallispi2lem2  27489  stirlinglem3  27493  stirlinglem6  27496  stirlinglem7  27497  stirlinglem10  27500  stirlinglem11  27501  stirlinglem12  27502  stirlinglem13  27503  stirlinglem14  27504  stirlinglem15  27505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058
  Copyright terms: Public domain W3C validator