Theorem gt0ne0t 5630

Description: Positive implies nonzero.

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0t	|- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)

Proof of Theorem gt0ne0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2628	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (0 < A <-> 0 < if(A e. RR, A, 0)))
2		neeq1 1593	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A =/= 0 <-> if(A e. RR, A, 0) =/= 0))
3	1, 2	imbi12d 628	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((0 < A -> A =/= 0) <-> (0 < if(A e. RR, A, 0) -> if(A e. RR, A, 0) =/= 0)))
4		0re 5452	. . . . 5 |- 0 e. RR
5	4	elimel 2398	. . . 4 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
6	5	gt0ne0 5623	. . 3 |- (0 < if(A e. RR, A, 0) -> if(A e. RR, A, 0) =/= 0)
7	3, 6	dedth 2387	. 2 |- (A e. RR -> (0 < A -> A =/= 0))
8	7	imp 350	1 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  ifcif 2365   class class class wbr 2624  RRcr 5245  0cc0 5246   < clt 5498

This theorem is referenced by:  recextlem2 5695  lemul1t 5834  lediv1t 5853  lediv1tOLD 5854  gt0divt 5855  ge0divt 5856  ltdivmult 5869  ltdivmultOLD 5870  ledivmultOLD 5871  lt2mul2divt 5874  lemuldivt 5876  lemuldivtOLD 5877  ltdiv2t 5889  ltrec1t 5890  lerec2t 5891  ledivdivt 5892  lediv2t 5893  ltdiv23t 5894  lediv23t 5895  lediv12it 5898  recp1lt1 5903  recrecltt 5904  ledivp1t 5907  nnreclt 6074  elnnz 6147  recnzt 6193  rpne0t 6289  rpdivclt 6293  expord2t 6605  exple1t 6608  expnbndt 6655  climmullem1 7120  climmullem2 7121  climmullem3 7122  climmullem4 7123  georeclim 7240  cvgratlem2 7251  cvgratlem5 7254  efcltlem1 7304  erelem3 7321  efaddlem23 7360  efaddlem25 7362  efcn 7423  reeff1o 7426  lmnn 7932  bcthlem8 8003  bcthlem21 8016  blocnilem 8460  ubthlem8 8532  ubthlem9 8533  ubthlem12 8536  ubthlem13 8537  ubthlem14 8538  sineq0 8708  eff1i 8739  effoi 8740  reeflogt 8756  relogeftb 8760  projlem26 9206  lnopcon 9958  lnfncon 9985  leopmult 10062  cdj1 10355  lediv2itALT 10366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502

Copyright terms: Public domain