MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0srpr Unicode version

Theorem gt0srpr 8886
Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
gt0srpr  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )

Proof of Theorem gt0srpr
StepHypRef Expression
1 ltsrpr 8885 . 2  |-  ( [
<. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) )
2 df-0r 8872 . . 3  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
32breq1i 4160 . 2  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  B >. ]  ~R  )
4 1pr 8825 . . 3  |-  1P  e.  P.
5 ltapr 8855 . . 3  |-  ( 1P  e.  P.  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
64, 5ax-mp 8 . 2  |-  ( B 
<P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) )
71, 3, 63bitr4i 269 1  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1717   <.cop 3760   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   [cec 6839   P.cnp 8667   1Pc1p 8668    +P. cpp 8669    <P cltp 8671    ~R cer 8674   0Rc0r 8676    <R cltr 8681
This theorem is referenced by:  recexsrlem  8911  mulgt0sr  8913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-ec 6843  df-qs 6847  df-ni 8682  df-pli 8683  df-mi 8684  df-lti 8685  df-plpq 8718  df-mpq 8719  df-ltpq 8720  df-enq 8721  df-nq 8722  df-erq 8723  df-plq 8724  df-mq 8725  df-1nq 8726  df-rq 8727  df-ltnq 8728  df-np 8791  df-1p 8792  df-plp 8793  df-ltp 8795  df-enr 8867  df-nr 8868  df-ltr 8871  df-0r 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator