Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gtinf Structured version   Unicode version

Theorem gtinf 26313
Description: Any number greater than an infimum is greater than some element of the set. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
gtinf  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. z  e.  S  z  <  A )
Distinct variable groups:    z, A    x, y, z, S
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem gtinf
StepHypRef Expression
1 simprl 733 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  A  e.  RR )
2 ltso 9148 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR
3 cnvso 5403 . . . . . . . 8  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
42, 3mpbi 200 . . . . . . 7  |-  `'  <  Or  RR
54supex 7460 . . . . . 6  |-  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
6 brcnvg 5045 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e. 
_V )  ->  ( A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )
75, 6mpan2 653 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )
87biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  < 
A )  ->  A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )
98adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )
104a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  `'  <  Or  RR )
11 infm3 9959 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) ) )
12 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
13 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1412, 13brcnv 5047 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
1514notbii 288 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
1615ralbii 2721 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  S  -.  y  <  x )
1713, 12brcnv 5047 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
18 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
1913, 18brcnv 5047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
2019rexbii 2722 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  S  y `'  <  z  <->  E. z  e.  S  z  <  y )
2117, 20imbi12i 317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) )
2221ralbii 2721 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) )
2316, 22anbi12i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) ) )
2423rexbii 2722 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) ) )
2511, 24sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) ) )
2625adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  S  y `'  <  z ) ) )
2710, 26suplub 7457 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  (
( A  e.  RR  /\  A `'  <  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. z  e.  S  A `'  <  z ) )
281, 9, 27mp2and 661 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. z  e.  S  A `'  <  z )
29 brcnvg 5045 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  _V )  ->  ( A `'  <  z  <-> 
z  <  A )
)
3018, 29mpan2 653 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A `'  <  z  <->  z  <  A ) )
3130rexbidv 2718 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. z  e.  S  A `'  <  z  <->  E. z  e.  S  z  <  A ) )
3231ad2antrl 709 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  ( E. z  e.  S  A `'  <  z  <->  E. z  e.  S  z  <  A ) )
3328, 32mpbid 202 1  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  ( A  e.  RR  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <  A
) )  ->  E. z  e.  S  z  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    Or wor 4494   `'ccnv 4869   supcsup 7437   RRcr 8981    < clt 9112    <_ cle 9113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286
  Copyright terms: Public domain W3C validator