HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem gtndivt 6195
Description: A larger number does not divide a smaller natural number.
Assertion
Ref Expression
gtndivt |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> -. (B / A) e. ZZ)
Proof of Theorem gtndivt
StepHypRef Expression
1 0z 6148 . . 3 |- 0 e. ZZ
2 btwnnzt 6194 . . 3 |- ((0 e. ZZ /\ 0 < (B / A) /\ (B / A) < (0 + 1)) -> -. (B / A) e. ZZ)
31, 2mp3an1 905 . 2 |- ((0 < (B / A) /\ (B / A) < (0 + 1)) -> -. (B / A) e. ZZ)
4 divgt0t 5857 . . 3 |- (((B e. RR /\ 0 < B) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> 0 < (B / A))
5 nnret 5931 . . . 4 |- (B e. NN -> B e. RR)
653ad2ant2 803 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> B e. RR)
7 nngt0t 5948 . . . 4 |- (B e. NN -> 0 < B)
873ad2ant2 803 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < B)
9 3simp1 790 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> A e. RR)
107adantl 390 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> 0 < B)
11 0re 5452 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
12 axlttrn 5516 . . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1311, 12mp3an1 905 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1413, 5sylan 450 . . . . . 6 |- ((B e. NN /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1514ancoms 438 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
1610, 15mpand 703 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> (B < A -> 0 < A))
17163impia 832 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < A)
184, 6, 8, 9, 17syl2anc 474 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < (B / A))
19 3simp3 792 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> B < A)
20 1re 5447 . . . . . . 7 |- 1 e. RR
21 ltdivmul2tOLD 5873 . . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR) /\ 0 < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
2220, 21mp3anl3 914 . . . . . 6 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ 0 < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
236, 9jca 288 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B e. RR /\ A e. RR))
2422, 23, 17sylanc 473 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
25 recnt 5325 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
26 mulid2t 5429 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (1 x. A) = A)
2725, 26syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> (1 x. A) = A)
2827breq2d 2635 . . . . . 6 |- (A e. RR -> (B < (1 x. A) <-> B < A))
29283ad2ant1 802 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B < (1 x. A) <-> B < A))
3024, 29bitrd 530 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < A))
3119, 30mpbird 196 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B / A) < 1)
32 ax1cn 5281 . . . 4 |- 1 e. CC
3332addid2 5343 . . 3 |- (0 + 1) = 1
3431, 33syl6breqr 2660 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B / A) < (0 + 1))
353, 18, 34sylanc 473 1 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> -. (B / A) e. ZZ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251   / cdiv 5306  NNcn 5308  ZZcz 5310   < clt 5498
This theorem is referenced by:  primet 6197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138
Copyright terms: Public domain