MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtned Structured version   Unicode version

Theorem gtned 9200
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltned.2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
gtned  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )

Proof of Theorem gtned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltned.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
3 ltne 9162 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   RRcr 8981    < clt 9112
This theorem is referenced by:  ltned  9201  seqf1olem1  11354  seqf1olem2  11355  hashfun  11692  abssubne0  12112  rpnnen2lem9  12814  rpnnen2lem11  12816  coe1tmmul2  16660  iccpnfcnv  18961  iccpnfhmeo  18962  pmltpclem2  19338  voliunlem1  19436  dvferm1lem  19860  lhop2  19891  ftc1lem5  19916  vieta1lem2  20220  geolim3  20248  logtayl  20543  atanre  20717  perfectlem2  21006  eupap1  21690  lgamgulmlem2  24806  lgamgulmlem3  24807  axlowdimlem16  25888  ivthALT  26329  pellfundne1  26943  fmul01lt1lem1  27681  wallispilem4  27784  wallispi  27786  wallispi2lem1  27787  wallispi2lem2  27788  wallispi2  27789  stirlinglem5  27794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117
  Copyright terms: Public domain W3C validator