MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtned Unicode version

Theorem gtned 9140
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltned.2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
gtned  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )

Proof of Theorem gtned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltned.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
3 ltne 9103 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717    =/= wne 2550   class class class wbr 4153   RRcr 8922    < clt 9053
This theorem is referenced by:  ltned  9141  seqf1olem1  11289  seqf1olem2  11290  hashfun  11627  abssubne0  12047  rpnnen2lem9  12749  rpnnen2lem11  12751  coe1tmmul2  16595  iccpnfcnv  18840  iccpnfhmeo  18841  pmltpclem2  19213  voliunlem1  19311  dvferm1lem  19735  lhop2  19766  ftc1lem5  19791  vieta1lem2  20095  geolim3  20123  logtayl  20418  atanre  20592  perfectlem2  20881  eupap1  21546  lgamgulmlem2  24593  lgamgulmlem3  24594  axlowdimlem16  25610  ivthALT  26029  pellfundne1  26643  fmul01lt1lem1  27382  wallispilem4  27485  wallispi  27487  wallispi2lem1  27488  wallispi2lem2  27489  wallispi2  27490  stirlinglem5  27495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058
  Copyright terms: Public domain W3C validator