MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtned Unicode version

Theorem gtned 8970
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltned.2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
gtned  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )

Proof of Theorem gtned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltned.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
3 ltne 8933 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   RRcr 8752    < clt 8883
This theorem is referenced by:  ltned  8971  seqf1olem1  11101  seqf1olem2  11102  hashfun  11405  abssubne0  11816  rpnnen2lem9  12517  rpnnen2lem11  12519  coe1tmmul2  16368  iccpnfcnv  18458  iccpnfhmeo  18459  pmltpclem2  18825  voliunlem1  18923  dvferm1lem  19347  lhop2  19378  ftc1lem5  19403  vieta1lem2  19707  geolim3  19735  logtayl  20023  atanre  20197  perfectlem2  20485  eupap1  23915  axlowdimlem16  24657  ivthALT  26361  pellfundne1  27077  stirlinglem4  27929  stirlinglem5  27930  stirlinglem6  27931  stirlinglem10  27935  stirlinglem11  27936  stirlinglem12  27937  stirlinglem13  27938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator