MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtneii Structured version   Unicode version

Theorem gtneii 9187
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
ltneii.2  |-  A  < 
B
Assertion
Ref Expression
gtneii  |-  B  =/= 
A

Proof of Theorem gtneii
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ltneii.2 . 2  |-  A  < 
B
3 ltne 9172 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
41, 2, 3mp2an 655 1  |-  B  =/= 
A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4214   RRcr 8991    < clt 9122
This theorem is referenced by:  ltneii  9188  fztpval  11109  geo2sum  12652  3dvds  12914  resslem  13524  rescco  14034  oppgtset  15150  mgpsca  15657  mgptset  15658  mgpds  15660  tuslem  18299  setsmsds  18508  tngds  18691  constr3pthlem1  21644  konigsberg  21711  ex-dif  21733  ex-in  21735  ex-pss  21738  ex-res  21751  zlmds  24350  zlmtset  24351  logbrec  24407  log2le1  24409  ballotlemi1  24762  bpoly4  26107  fdc  26451  matsca  27449  matvsca  27450  stoweid  27790  wallispi2lem1  27798  stirlinglem3  27803  stirlinglem4  27804  stirlinglem12  27812  stirlinglem13  27813  stirlinglem14  27814  stirlingr  27817  ene1  28593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127
  Copyright terms: Public domain W3C validator