Theorem gx1 21811

Description: The result of the group power operator when the exponent is one. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
gx1.1	|- X = ran G
gx1.2	|- P = ( ^g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gx1	|- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( A P 1 ) = A )

Proof of Theorem gx1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9975	. . . 4 |- 1 e. NN
2		gx1.1	. . . . 5 |- X = ran G
3		gx1.2	. . . . 5 |- P = ( ^g ` G )
4	2, 3	gxpval 21808	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ 1 e. NN ) -> ( A P 1 ) = ( seq 1 ( G , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) )
5	1, 4	mp3an3 1268	. . 3 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( A P 1 ) = ( seq 1 ( G , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) )
6		1z 10275	. . . 4 |- 1 e. ZZ
7		seq1 11299	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( G , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) )
8	6, 7	ax-mp 8	. . 3 |- ( seq 1 ( G , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 )
9	5, 8	syl6eq 2460	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( A P 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) )
10		fvconst2g 5912	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
11	1, 10	mpan2 653	. . 3 |- ( A e. X -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
12	11	adantl 453	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
13	9, 12	eqtrd 2444	1 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( A P 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   {csn 3782   X. cxp 4843   ran crn 4846   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1c1 8955   NNcn 9964   ZZcz 10246   seq cseq 11286   GrpOpcgr 21735   ^gcgx 21739

This theorem is referenced by:  gxnn0suc  21813  gxm1  21817

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-seq 11287  df-gx 21744