MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gx1 Unicode version

Theorem gx1 21035
Description: The result of the group power operator when the exponent is one. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gx1.1  |-  X  =  ran  G
gx1.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gx1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 1 )  =  A )

Proof of Theorem gx1
StepHypRef Expression
1 1nn 9844 . . . 4  |-  1  e.  NN
2 gx1.1 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
3 gx1.2 . . . . 5  |-  P  =  ( ^g `  G
)
42, 3gxpval 21032 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  1  e.  NN )  ->  ( A P 1 )  =  (  seq  1 ( G ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  1
) )
51, 4mp3an3 1266 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 1 )  =  (  seq  1 ( G ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  1
) )
6 1z 10142 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
7 seq1 11148 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 ( G , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
) )
86, 7ax-mp 8 . . 3  |-  (  seq  1 ( G , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
)
95, 8syl6eq 2406 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 ) )
10 fvconst2g 5808 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 )  =  A )
111, 10mpan2 652 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
1211adantl 452 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
139, 12eqtrd 2390 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 1 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {csn 3716    X. cxp 4766   ran crn 4769   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   1c1 8825   NNcn 9833   ZZcz 10113    seq cseq 11135   GrpOpcgr 20959   ^gcgx 20963
This theorem is referenced by:  gxnn0suc  21037  gxm1  21041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-seq 11136  df-gx 20968
  Copyright terms: Public domain W3C validator