Theorem gx1 21855

Description: The result of the group power operator when the exponent is one. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
gx1.1	|- X = ran G
gx1.2	|- P = ( ^g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gx1	|- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( A P 1 ) = A )

Proof of Theorem gx1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10016	. . . 4 |- 1 e. NN
2		gx1.1	. . . . 5 |- X = ran G
3		gx1.2	. . . . 5 |- P = ( ^g ` G )
4	2, 3	gxpval 21852	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ 1 e. NN ) -> ( A P 1 ) = ( seq 1 ( G , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) )
5	1, 4	mp3an3 1269	. . 3 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( A P 1 ) = ( seq 1 ( G , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) )
6		1z 10316	. . . 4 |- 1 e. ZZ
7		seq1 11341	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( G , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( seq 1 ( G , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 )
9	5, 8	syl6eq 2486	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( A P 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) )
10		fvconst2g 5948	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
11	1, 10	mpan2 654	. . 3 |- ( A e. X -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
12	11	adantl 454	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
13	9, 12	eqtrd 2470	1 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) -> ( A P 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 360   = wceq 1653   e. wcel 1726   {csn 3816   X. cxp 4879   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1c1 8996   NNcn 10005   ZZcz 10287   seq cseq 11328   GrpOpcgr 21779   ^gcgx 21783

This theorem is referenced by:  gxnn0suc  21857  gxm1  21861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-seq 11329  df-gx 21788