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Theorem gxadd 21863
Description: The group power of a sum is the group product of the powers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0add.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0add.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxadd  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )

Proof of Theorem gxadd
StepHypRef Expression
1 gxnn0add.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ran  G
2 gxnn0add.2 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0add 21862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
433expia 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
54exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
653impia 1150 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
8 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
9 zaddcl 10317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  +  K
)  e.  ZZ )
109adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ZZ )
111, 2gxcl 21853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  +  K )  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  e.  X )
1210, 11syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  e.  X
)
13 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  K  e.  ZZ )
141, 2gxcl 21853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P K )  e.  X )
1513, 14syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P K )  e.  X
)
16 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
171, 16grpoasscan2 21826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P ( J  +  K ) )  e.  X  /\  ( A P K )  e.  X )  ->  (
( ( A P ( J  +  K
) ) G ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) ) G ( A P K ) )  =  ( A P ( J  +  K ) ) )
188, 12, 15, 17syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) ) G ( A P K ) )  =  ( A P ( J  +  K
) ) )
191, 16, 2gxneg 21854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P -u K )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )
2013, 19syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )
2120oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( A P -u K ) )  =  ( ( A P ( J  +  K
) ) G ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) ) )
22 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  -u K  e.  NN0 )
2310, 22jca 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  (
( J  +  K
)  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)
241, 2gxnn0add 21862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  (
( J  +  K
)  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)  ->  ( A P ( ( J  +  K )  + 
-u K ) )  =  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( A P -u K ) ) )
2523, 24syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  K )  +  -u K ) )  =  ( ( A P ( J  +  K
) ) G ( A P -u K
) ) )
26 zcn 10287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
27 zcn 10287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
2827adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
29 addcl 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( J  +  K
)  e.  CC )
30 negsub 9349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  +  K
)  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  +  -u K )  =  ( ( J  +  K
)  -  K ) )
3129, 30sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  +  -u K )  =  ( ( J  +  K
)  -  K ) )
32 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  -  K
)  =  J )
3331, 32eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  +  -u K )  =  J )
3426, 28, 33syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  (
( J  +  K
)  +  -u K
)  =  J )
3534oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( A P ( ( J  +  K )  + 
-u K ) )  =  ( A P J ) )
36353ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  K )  +  -u K ) )  =  ( A P J ) )
3725, 36eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( A P -u K ) )  =  ( A P J ) )
3821, 37eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )  =  ( A P J ) )
3938oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) ) G ( A P K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
4018, 39eqtr3d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
41403expia 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
4241exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
43423impia 1150 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
4443expdimp 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
45 elznn0 10296 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  RR  /\  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) ) )
4645simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) )
4746adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  \/  -u K  e. 
NN0 ) )
487, 44, 47mpjaod 371 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
4948ex 424 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
50493expia 1155 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
5150imp3a 421 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
52513impia 1150 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989    + caddc 8993    - cmin 9291   -ucneg 9292   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   GrpOpcgr 21774   invcgn 21776   ^gcgx 21778
This theorem is referenced by:  gxsub  21864  gxnn0mul  21865  gxmodid  21867
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gx 21783
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