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Theorem gxadd 20942
Description: The group power of a sum is the group product of the powers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0add.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0add.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxadd  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )

Proof of Theorem gxadd
StepHypRef Expression
1 gxnn0add.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ran  G
2 gxnn0add.2 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0add 20941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
433expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
54exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
653impia 1148 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
8 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
9 zaddcl 10059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  +  K
)  e.  ZZ )
109adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ZZ )
111, 2gxcl 20932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  +  K )  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  e.  X )
1210, 11syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  e.  X
)
13 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  K  e.  ZZ )
141, 2gxcl 20932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P K )  e.  X )
1513, 14syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P K )  e.  X
)
16 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
171, 16grpoasscan2 20905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P ( J  +  K ) )  e.  X  /\  ( A P K )  e.  X )  ->  (
( ( A P ( J  +  K
) ) G ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) ) G ( A P K ) )  =  ( A P ( J  +  K ) ) )
188, 12, 15, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) ) G ( A P K ) )  =  ( A P ( J  +  K
) ) )
191, 16, 2gxneg 20933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P -u K )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )
2013, 19syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )
2120oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( A P -u K ) )  =  ( ( A P ( J  +  K
) ) G ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) ) )
22 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  -u K  e.  NN0 )
2310, 22jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  (
( J  +  K
)  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)
241, 2gxnn0add 20941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  (
( J  +  K
)  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)  ->  ( A P ( ( J  +  K )  + 
-u K ) )  =  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( A P -u K ) ) )
2523, 24syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  K )  +  -u K ) )  =  ( ( A P ( J  +  K
) ) G ( A P -u K
) ) )
26 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
27 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
29 addcl 8819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( J  +  K
)  e.  CC )
30 negsub 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  +  K
)  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  +  -u K )  =  ( ( J  +  K
)  -  K ) )
3129, 30sylancom 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  +  -u K )  =  ( ( J  +  K
)  -  K ) )
32 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  -  K
)  =  J )
3331, 32eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( J  +  K )  +  -u K )  =  J )
3426, 28, 33syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  (
( J  +  K
)  +  -u K
)  =  J )
3534oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( A P ( ( J  +  K )  + 
-u K ) )  =  ( A P J ) )
36353ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  K )  +  -u K ) )  =  ( A P J ) )
3725, 36eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( A P -u K ) )  =  ( A P J ) )
3821, 37eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )  =  ( A P J ) )
3938oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( ( A P ( J  +  K ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) ) G ( A P K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
4018, 39eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
41403expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
4241exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
43423impia 1148 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
4443expdimp 426 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
45 elznn0 10038 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  RR  /\  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) ) )
4645simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) )
4746adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  \/  -u K  e. 
NN0 ) )
487, 44, 47mpjaod 370 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
4948ex 423 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
50493expia 1153 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
5150imp3a 420 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
52513impia 1148 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740    - cmin 9037   -ucneg 9038   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   GrpOpcgr 20853   invcgn 20855   ^gcgx 20857
This theorem is referenced by:  gxsub  20943  gxnn0mul  20944  gxmodid  20946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gx 20862
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