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Theorem gxdi 20979
Description: Distribution of group power over group operation for abelian groups. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxdi.1  |-  X  =  ran  G
gxdi.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxdi  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )

Proof of Theorem gxdi
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P 0 ) )
2 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( A P m )  =  ( A P 0 ) )
3 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( B P m )  =  ( B P 0 ) )
42, 3oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) )
51, 4eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P 0 )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) ) )
6 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P k ) )
7 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( A P m )  =  ( A P k ) )
8 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( B P m )  =  ( B P k ) )
97, 8oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )
106, 9eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) ) )
11 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) ) )
12 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P m )  =  ( A P ( k  +  1 ) ) )
13 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( B P m )  =  ( B P ( k  +  1 ) ) )
1412, 13oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) )
1511, 14eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P
-u k ) )
17 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  -u k  ->  ( A P m )  =  ( A P -u k ) )
18 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  -u k  ->  ( B P m )  =  ( B P -u k ) )
1917, 18oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P
-u k ) ) )
2016, 19eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( A P
-u k ) G ( B P -u k ) ) ) )
21 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( m  =  K  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P K ) )
22 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  ( A P m )  =  ( A P K ) )
23 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  ( B P m )  =  ( B P K ) )
2422, 23oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )
2521, 24eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( m  =  K  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
26 ablogrpo 20967 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
27263ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  GrpOp )
28 gxdi.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
2928grpocl 20883 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
3026, 29syl3an1 1215 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
31 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
32 gxdi.2 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( ^g `  G
)
3328, 31, 32gx0 20944 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  (GId `  G
) )
3427, 30, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  (GId `  G
) )
3528, 31grpoidcl 20900 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  (GId `  G
)  e.  X )
3627, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (GId `  G )  e.  X
)
3728, 31grpolid 20902 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (GId `  G )  e.  X
)  ->  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) )  =  (GId `  G
) )
3827, 36, 37syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
(GId `  G ) G (GId `  G )
)  =  (GId `  G ) )
3934, 38eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) ) )
40 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
4128, 31, 32gx0 20944 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
4227, 40, 41syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
43 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
4428, 31, 32gx0 20944 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  ( B P 0 )  =  (GId `  G )
)
4527, 43, 44syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B P 0 )  =  (GId `  G )
)
4642, 45oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A P 0 ) G ( B P 0 ) )  =  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) ) )
4739, 46eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) )
48 nn0z 10062 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
49273ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
50303ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A G B )  e.  X
)
51 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
5228, 32gxsuc 20955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) ) )
54 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  ->  (
( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) ) )
55543ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) ) )
56 simp11 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  G  e.  AbelOp )
57403ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  A  e.  X
)
5828, 32gxcl 20948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P k )  e.  X )
5949, 57, 51, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P k )  e.  X
)
60433ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  B  e.  X
)
6128, 32gxcl 20948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P k )  e.  X )
6249, 60, 51, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P k )  e.  X
)
6328ablo4 20970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A P k )  e.  X  /\  ( B P k )  e.  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6456, 59, 62, 57, 60, 63syl122anc 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6553, 55, 643eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6628, 32gxsuc 20955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
6749, 57, 51, 66syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
6828, 32gxsuc 20955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P ( k  +  1 ) )  =  ( ( B P k ) G B ) )
6949, 60, 51, 68syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P ( k  +  1 ) )  =  ( ( B P k ) G B ) )
7067, 69oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
7165, 70eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) )
72713exp 1150 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7348, 72syl5 28 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
74 nnz 10061 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
75 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
7628, 75, 32gxneg 20949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A G B ) P -u k
)  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( A G B ) P k ) ) )
7749, 50, 51, 76syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A G B ) P k ) ) )
7828ablocom 20968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A P k )  e.  X  /\  ( B P k )  e.  X )  ->  (
( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
7956, 59, 62, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
80 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  ->  (
( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) )  <->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
81803ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) )  <->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
8279, 81mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
8382fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( A G B ) P k ) )  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
8428, 75grpoinvop 20924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( B P k )  e.  X  /\  ( A P k )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8549, 62, 59, 84syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( B P k ) G ( A P k ) ) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8677, 83, 853eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8728, 75, 32gxneg 20949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P -u k )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) )
8849, 57, 51, 87syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P k ) ) )
8928, 75, 32gxneg 20949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P -u k )  =  ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) )
9049, 60, 51, 89syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( B P k ) ) )
9188, 90oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P -u k ) G ( B P
-u k ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P k ) ) G ( ( inv `  G
) `  ( B P k ) ) ) )
9286, 91eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( A P
-u k ) G ( B P -u k ) ) )
93923exp 1150 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P -u k )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P -u k
) ) ) ) )
9474, 93syl5 28 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  NN  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P -u k )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P -u k
) ) ) ) )
955, 10, 15, 20, 25, 47, 73, 94zindd 10129 . . 3  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
96953expb 1152 . 2  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
97963impia 1148 1  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   -ucneg 9054   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   GrpOpcgr 20869  GIdcgi 20870   invcgn 20871   ^gcgx 20873   AbelOpcablo 20964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gx 20878  df-ablo 20965
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