MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxdi Unicode version

Theorem gxdi 21725
Description: Distribution of group power over group operation for abelian groups. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxdi.1  |-  X  =  ran  G
gxdi.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxdi  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )

Proof of Theorem gxdi
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6021 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P 0 ) )
2 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( A P m )  =  ( A P 0 ) )
3 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( B P m )  =  ( B P 0 ) )
42, 3oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) )
51, 4eqeq12d 2394 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P 0 )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) ) )
6 oveq2 6021 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P k ) )
7 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( A P m )  =  ( A P k ) )
8 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( B P m )  =  ( B P k ) )
97, 8oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )
106, 9eqeq12d 2394 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) ) )
11 oveq2 6021 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) ) )
12 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P m )  =  ( A P ( k  +  1 ) ) )
13 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( B P m )  =  ( B P ( k  +  1 ) ) )
1412, 13oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) )
1511, 14eqeq12d 2394 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 6021 . . . . 5  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P
-u k ) )
17 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( m  =  -u k  ->  ( A P m )  =  ( A P -u k ) )
18 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( m  =  -u k  ->  ( B P m )  =  ( B P -u k ) )
1917, 18oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P
-u k ) ) )
2016, 19eqeq12d 2394 . . . 4  |-  ( m  =  -u k  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( A P
-u k ) G ( B P -u k ) ) ) )
21 oveq2 6021 . . . . 5  |-  ( m  =  K  ->  (
( A G B ) P m )  =  ( ( A G B ) P K ) )
22 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  ( A P m )  =  ( A P K ) )
23 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  ( B P m )  =  ( B P K ) )
2422, 23oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P m ) G ( B P m ) )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )
2521, 24eqeq12d 2394 . . . 4  |-  ( m  =  K  ->  (
( ( A G B ) P m )  =  ( ( A P m ) G ( B P m ) )  <->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
26 ablogrpo 21713 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
27263ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  GrpOp )
28 gxdi.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
2928grpocl 21629 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
3026, 29syl3an1 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
31 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
32 gxdi.2 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( ^g `  G
)
3328, 31, 32gx0 21690 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  (GId `  G
) )
3427, 30, 33syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  (GId `  G
) )
3528, 31grpoidcl 21646 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  (GId `  G
)  e.  X )
3627, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (GId `  G )  e.  X
)
3728, 31grpolid 21648 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (GId `  G )  e.  X
)  ->  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) )  =  (GId `  G
) )
3827, 36, 37syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
(GId `  G ) G (GId `  G )
)  =  (GId `  G ) )
3934, 38eqtr4d 2415 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) ) )
40 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
4128, 31, 32gx0 21690 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
4227, 40, 41syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
43 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
4428, 31, 32gx0 21690 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  ( B P 0 )  =  (GId `  G )
)
4527, 43, 44syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B P 0 )  =  (GId `  G )
)
4642, 45oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A P 0 ) G ( B P 0 ) )  =  ( (GId `  G ) G (GId
`  G ) ) )
4739, 46eqtr4d 2415 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) P 0 )  =  ( ( A P 0 ) G ( B P 0 ) ) )
48 nn0z 10229 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
49273ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
50303ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A G B )  e.  X
)
51 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
5228, 32gxsuc 21701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) ) )
54 oveq1 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  ->  (
( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) ) )
55543ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) P k ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) ) )
56 simp11 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  G  e.  AbelOp )
57403ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  A  e.  X
)
5828, 32gxcl 21694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P k )  e.  X )
5949, 57, 51, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P k )  e.  X
)
60433ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  B  e.  X
)
6128, 32gxcl 21694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P k )  e.  X )
6249, 60, 51, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P k )  e.  X
)
6328ablo4 21716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A P k )  e.  X  /\  ( B P k )  e.  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6456, 59, 62, 57, 60, 63syl122anc 1193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A P k ) G ( B P k ) ) G ( A G B ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6553, 55, 643eqtrd 2416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
6628, 32gxsuc 21701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
6749, 57, 51, 66syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
6828, 32gxsuc 21701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P ( k  +  1 ) )  =  ( ( B P k ) G B ) )
6949, 60, 51, 68syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P ( k  +  1 ) )  =  ( ( B P k ) G B ) )
7067, 69oveq12d 6031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A P k ) G A ) G ( ( B P k ) G B ) ) )
7165, 70eqtr4d 2415 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) )
72713exp 1152 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7348, 72syl5 30 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P ( k  +  1 ) ) G ( B P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
74 nnz 10228 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
75 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
7628, 75, 32gxneg 21695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A G B ) P -u k
)  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( A G B ) P k ) ) )
7749, 50, 51, 76syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A G B ) P k ) ) )
7828ablocom 21714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A P k )  e.  X  /\  ( B P k )  e.  X )  ->  (
( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
7956, 59, 62, 78syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
80 eqeq1 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  ->  (
( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) )  <->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
81803ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) )  <->  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
8279, 81mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )
8382fveq2d 5665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( A G B ) P k ) )  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( B P k ) G ( A P k ) ) ) )
8428, 75grpoinvop 21670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( B P k )  e.  X  /\  ( A P k )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( B P k ) G ( A P k ) ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8549, 62, 59, 84syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( B P k ) G ( A P k ) ) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8677, 83, 853eqtrd 2416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) G ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) ) )
8728, 75, 32gxneg 21695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P -u k )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P k ) ) )
8849, 57, 51, 87syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( A P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P k ) ) )
8928, 75, 32gxneg 21695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B P -u k )  =  ( ( inv `  G ) `  ( B P k ) ) )
9049, 60, 51, 89syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( B P
-u k )  =  ( ( inv `  G
) `  ( B P k ) ) )
9188, 90oveq12d 6031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A P -u k ) G ( B P
-u k ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P k ) ) G ( ( inv `  G
) `  ( B P k ) ) ) )
9286, 91eqtr4d 2415 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) ) )  ->  ( ( A G B ) P
-u k )  =  ( ( A P
-u k ) G ( B P -u k ) ) )
93923exp 1152 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P -u k )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P -u k
) ) ) ) )
9474, 93syl5 30 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
k  e.  NN  ->  ( ( ( A G B ) P k )  =  ( ( A P k ) G ( B P k ) )  -> 
( ( A G B ) P -u k )  =  ( ( A P -u k ) G ( B P -u k
) ) ) ) )
955, 10, 15, 20, 25, 47, 73, 94zindd 10296 . . 3  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
96953expb 1154 . 2  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) ) )
97963impia 1150 1  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( A G B ) P K )  =  ( ( A P K ) G ( B P K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ran crn 4812   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919   -ucneg 9217   NNcn 9925   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   GrpOpcgr 21615  GIdcgi 21616   invcgn 21617   ^gcgx 21619   AbelOpcablo 21710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-seq 11244  df-grpo 21620  df-gid 21621  df-ginv 21622  df-gx 21624  df-ablo 21711
  Copyright terms: Public domain W3C validator