Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxfval Structured version   Unicode version

Theorem gxfval 21838
 Description: The value of the group power operator function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxfval.1
gxfval.2 GId
gxfval.3
gxfval.4
Assertion
Ref Expression
gxfval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem gxfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gxfval.4 . 2
2 gxfval.1 . . . . 5
3 rnexg 5124 . . . . 5
42, 3syl5eqel 2520 . . . 4
5 zex 10284 . . . 4
6 mpt2exga 6417 . . . 4
74, 5, 6sylancl 644 . . 3
8 rneq 5088 . . . . . 6
98, 2syl6eqr 2486 . . . . 5
10 eqidd 2437 . . . . 5
11 fveq2 5721 . . . . . . 7 GId GId
12 gxfval.2 . . . . . . 7 GId
1311, 12syl6eqr 2486 . . . . . 6 GId
14 seqeq2 11320 . . . . . . . 8
1514fveq1d 5723 . . . . . . 7
16 fveq2 5721 . . . . . . . . 9
17 gxfval.3 . . . . . . . . 9
1816, 17syl6eqr 2486 . . . . . . . 8
1914fveq1d 5723 . . . . . . . 8
2018, 19fveq12d 5727 . . . . . . 7
2115, 20ifeq12d 3748 . . . . . 6
2213, 21ifeq12d 3748 . . . . 5 GId
239, 10, 22mpt2eq123dv 6129 . . . 4 GId
24 df-gx 21776 . . . 4 GId
2523, 24fvmptg 5797 . . 3
267, 25mpdan 650 . 2
271, 26syl5eq 2480 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2949  cif 3732  csn 3807   class class class wbr 4205   cxp 4869   crn 4872  cfv 5447   cmpt2 6076  cc0 8983  c1 8984   clt 9113  cneg 9285  cn 9993  cz 10275   cseq 11316  cgr 21767  GIdcgi 21768  cgn 21769  cgx 21771 This theorem is referenced by:  gxval  21839 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-neg 9287  df-z 10276  df-seq 11317  df-gx 21776
 Copyright terms: Public domain W3C validator