Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxid Structured version   Unicode version

Theorem gxid 21866
 Description: The identity element of a group to any power remains unchanged. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxid.1 GId
gxid.2
Assertion
Ref Expression
gxid

Proof of Theorem gxid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6092 . . . 4
21eqeq1d 2446 . . 3
3 oveq2 6092 . . . 4
43eqeq1d 2446 . . 3
5 oveq2 6092 . . . 4
65eqeq1d 2446 . . 3
7 oveq2 6092 . . . 4
87eqeq1d 2446 . . 3
9 oveq2 6092 . . . 4
109eqeq1d 2446 . . 3
11 eqid 2438 . . . . 5
12 gxid.1 . . . . 5 GId
1311, 12grpoidcl 21810 . . . 4
14 gxid.2 . . . . 5
1511, 12, 14gx0 21854 . . . 4
1613, 15mpdan 651 . . 3
17 nn0z 10309 . . . 4
18 simpl 445 . . . . . . . . 9
1913adantr 453 . . . . . . . . 9
20 simpr 449 . . . . . . . . 9
2111, 14gxsuc 21865 . . . . . . . . 9
2218, 19, 20, 21syl3anc 1185 . . . . . . . 8
2311, 14gxcl 21858 . . . . . . . . . 10
2418, 19, 20, 23syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
2511, 12grporid 21813 . . . . . . . . 9
2624, 25syldan 458 . . . . . . . 8
2722, 26eqtr2d 2471 . . . . . . 7
2827eqeq1d 2446 . . . . . 6
2928biimpd 200 . . . . 5
3029ex 425 . . . 4
3117, 30syl5 31 . . 3
32 nnz 10308 . . . 4
33 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
3411, 33, 14gxneg 21859 . . . . . . . . 9
3513, 34syl3an2 1219 . . . . . . . 8
36353anidm12 1242 . . . . . . 7
37363adant3 978 . . . . . 6
38 fveq2 5731 . . . . . . . 8
3912, 33grpoinvid 21825 . . . . . . . 8
4038, 39sylan9eqr 2492 . . . . . . 7
41403adant2 977 . . . . . 6
4237, 41eqtrd 2470 . . . . 5
43423exp 1153 . . . 4
4432, 43syl5 31 . . 3
452, 4, 6, 8, 10, 16, 31, 44zindd 10376 . 2
4645imp 420 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   crn 4882  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998  cneg 9297  cn 10005  cn0 10226  cz 10287  cgr 21779  GIdcgi 21780  cgn 21781  cgx 21783 This theorem is referenced by:  gxmodid  21872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-seq 11329  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-gx 21788
 Copyright terms: Public domain W3C validator