Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxinv Structured version   Unicode version

Theorem gxinv 21863
 Description: The group power operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxinv.1
gxinv.2
gxinv.3
Assertion
Ref Expression
gxinv

Proof of Theorem gxinv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6092 . . . 4
2 oveq2 6092 . . . . 5
32fveq2d 5735 . . . 4
41, 3eqeq12d 2452 . . 3
5 oveq2 6092 . . . 4
6 oveq2 6092 . . . . 5
76fveq2d 5735 . . . 4
85, 7eqeq12d 2452 . . 3
9 oveq2 6092 . . . 4
10 oveq2 6092 . . . . 5
1110fveq2d 5735 . . . 4
129, 11eqeq12d 2452 . . 3
13 oveq2 6092 . . . 4
14 oveq2 6092 . . . . 5
1514fveq2d 5735 . . . 4
1613, 15eqeq12d 2452 . . 3
17 oveq2 6092 . . . 4
18 oveq2 6092 . . . . 5
1918fveq2d 5735 . . . 4
2017, 19eqeq12d 2452 . . 3
21 eqid 2438 . . . . . 6 GId GId
22 gxinv.2 . . . . . 6
2321, 22grpoinvid 21825 . . . . 5 GId GId
2423adantr 453 . . . 4 GId GId
25 gxinv.1 . . . . . 6
26 gxinv.3 . . . . . 6
2725, 21, 26gx0 21854 . . . . 5 GId
2827fveq2d 5735 . . . 4 GId
2925, 22grpoinvcl 21819 . . . . 5
3025, 21, 26gx0 21854 . . . . 5 GId
3129, 30syldan 458 . . . 4 GId
3224, 28, 313eqtr4rd 2481 . . 3
33 oveq2 6092 . . . . . . 7
3433adantl 454 . . . . . 6
35293adant3 978 . . . . . . . . 9
3625, 26gxnn0suc 21857 . . . . . . . . 9
3735, 36syld3an2 1232 . . . . . . . 8
38 nn0z 10309 . . . . . . . . . 10
3925, 26gxcom 21862 . . . . . . . . . 10
4038, 39syl3an3 1220 . . . . . . . . 9
4135, 40syld3an2 1232 . . . . . . . 8
4237, 41eqtrd 2470 . . . . . . 7
4342adantr 453 . . . . . 6
4425, 26gxnn0suc 21857 . . . . . . . . 9
4544fveq2d 5735 . . . . . . . 8
46 simp1 958 . . . . . . . . 9
4725, 26gxcl 21858 . . . . . . . . . 10
4838, 47syl3an3 1220 . . . . . . . . 9
49 simp2 959 . . . . . . . . 9
5025, 22grpoinvop 21834 . . . . . . . . 9
5146, 48, 49, 50syl3anc 1185 . . . . . . . 8
5245, 51eqtrd 2470 . . . . . . 7
5352adantr 453 . . . . . 6
5434, 43, 533eqtr4d 2480 . . . . 5
5554ex 425 . . . 4
56553expia 1156 . . 3
57 nnz 10308 . . . 4
58293adant3 978 . . . . . . . . 9
5925, 22, 26gxneg 21859 . . . . . . . . 9
6058, 59syld3an2 1232 . . . . . . . 8
6160adantr 453 . . . . . . 7
6225, 22, 26gxneg 21859 . . . . . . . . . 10
6362adantr 453 . . . . . . . . 9
64 simpr 449 . . . . . . . . 9
6563, 64eqtr4d 2473 . . . . . . . 8
6665fveq2d 5735 . . . . . . 7
6761, 66eqtr4d 2473 . . . . . 6
6867ex 425 . . . . 5
69683expia 1156 . . . 4
7057, 69syl5 31 . . 3
714, 8, 12, 16, 20, 32, 56, 70zindd 10376 . 2
72713impia 1151 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   crn 4882  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998  cneg 9297  cn 10005  cn0 10226  cz 10287  cgr 21779  GIdcgi 21780  cgn 21781  cgx 21783 This theorem is referenced by:  gxinv2  21864  gxmul  21871 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-seq 11329  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-gx 21788
 Copyright terms: Public domain W3C validator