Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxinv Unicode version

Theorem gxinv 20937
 Description: The group power operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxinv.1
gxinv.2
gxinv.3
Assertion
Ref Expression
gxinv

Proof of Theorem gxinv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . 4
2 oveq2 5866 . . . . 5
32fveq2d 5529 . . . 4
41, 3eqeq12d 2297 . . 3
5 oveq2 5866 . . . 4
6 oveq2 5866 . . . . 5
76fveq2d 5529 . . . 4
85, 7eqeq12d 2297 . . 3
9 oveq2 5866 . . . 4
10 oveq2 5866 . . . . 5
1110fveq2d 5529 . . . 4
129, 11eqeq12d 2297 . . 3
13 oveq2 5866 . . . 4
14 oveq2 5866 . . . . 5
1514fveq2d 5529 . . . 4
1613, 15eqeq12d 2297 . . 3
17 oveq2 5866 . . . 4
18 oveq2 5866 . . . . 5
1918fveq2d 5529 . . . 4
2017, 19eqeq12d 2297 . . 3
21 eqid 2283 . . . . . 6 GId GId
22 gxinv.2 . . . . . 6
2321, 22grpoinvid 20899 . . . . 5 GId GId
2423adantr 451 . . . 4 GId GId
25 gxinv.1 . . . . . 6
26 gxinv.3 . . . . . 6
2725, 21, 26gx0 20928 . . . . 5 GId
2827fveq2d 5529 . . . 4 GId
2925, 22grpoinvcl 20893 . . . . 5
3025, 21, 26gx0 20928 . . . . 5 GId
3129, 30syldan 456 . . . 4 GId
3224, 28, 313eqtr4rd 2326 . . 3
33293adant3 975 . . . . . . . . 9
3425, 26gxnn0suc 20931 . . . . . . . . 9
3533, 34syld3an2 1229 . . . . . . . 8
36 nn0z 10046 . . . . . . . . . 10
3725, 26gxcom 20936 . . . . . . . . . 10
3836, 37syl3an3 1217 . . . . . . . . 9
3933, 38syld3an2 1229 . . . . . . . 8
4035, 39eqtrd 2315 . . . . . . 7
4140adantr 451 . . . . . 6
4225, 26gxnn0suc 20931 . . . . . . . . . 10
4342fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
44 simp1 955 . . . . . . . . . 10
4525, 26gxcl 20932 . . . . . . . . . . 11
4636, 45syl3an3 1217 . . . . . . . . . 10
47 simp2 956 . . . . . . . . . 10
4825, 22grpoinvop 20908 . . . . . . . . . 10
4944, 46, 47, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
5043, 49eqtrd 2315 . . . . . . . 8
5150adantr 451 . . . . . . 7
52 oveq2 5866 . . . . . . . 8
5352adantl 452 . . . . . . 7
5451, 53eqtr4d 2318 . . . . . 6
5541, 54eqtr4d 2318 . . . . 5
5655ex 423 . . . 4
57563expia 1153 . . 3
58 nnz 10045 . . . 4
59293adant3 975 . . . . . . . . 9
6025, 22, 26gxneg 20933 . . . . . . . . 9
6159, 60syld3an2 1229 . . . . . . . 8
6261adantr 451 . . . . . . 7
6325, 22, 26gxneg 20933 . . . . . . . . . 10
6463adantr 451 . . . . . . . . 9
65 simpr 447 . . . . . . . . 9
6664, 65eqtr4d 2318 . . . . . . . 8
6766fveq2d 5529 . . . . . . 7
6862, 67eqtr4d 2318 . . . . . 6
6968ex 423 . . . . 5
70693expia 1153 . . . 4
7158, 70syl5 28 . . 3
724, 8, 12, 16, 20, 32, 57, 71zindd 10113 . 2
73723impia 1148 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   crn 4690  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740  cneg 9038  cn 9746  cn0 9965  cz 10024  cgr 20853  GIdcgi 20854  cgn 20855  cgx 20857 This theorem is referenced by:  gxinv2  20938  gxmul  20945 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gx 20862
 Copyright terms: Public domain W3C validator