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Theorem gxmul 21871
Description: The group power of a product is the composition of the powers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0mul.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0mul.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxmul  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )

Proof of Theorem gxmul
StepHypRef Expression
1 gxnn0mul.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ran  G
2 gxnn0mul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0mul 21870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
433expia 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
54exp3a 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
653impia 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
76adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
8 znegcl 10318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  ZZ  ->  -u J  e.  ZZ )
9 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  -> 
-u K  e.  NN0 )
108, 9anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( -u J  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)
111, 2gxnn0mul 21870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( -u J  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( ( A P -u J ) P -u K ) )
1210, 11syl3an3 1220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( ( A P
-u J ) P
-u K ) )
13 zcn 10292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
14 zcn 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1514adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
16 mul2neg 9478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( -u J  x.  -u K )  =  ( J  x.  K ) )
1713, 15, 16syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( -u J  x.  -u K
)  =  ( J  x.  K ) )
18173ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( -u J  x.  -u K )  =  ( J  x.  K
) )
1918oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( A P ( J  x.  K ) ) )
20 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
211, 20, 2gxneg 21859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P -u J )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P J ) ) )
22213adant3r 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P
-u J )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) )
2322oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P -u J ) P -u K )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P J ) ) P
-u K ) )
2412, 19, 233eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) P
-u K ) )
25 simp1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
261, 2gxcl 21858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P J )  e.  X )
27263adant3r 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P J )  e.  X
)
28 simp3rl 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
2928znegcld 10382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  -u K  e.  ZZ )
301, 20, 2gxinv 21863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  -u K  e.  ZZ )  ->  (
( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
3125, 27, 29, 30syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P J ) ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
3224, 31eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
331, 20, 2gxneg 21859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) P -u K
)  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( A P J ) P K ) ) )
3425, 27, 28, 33syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P J ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P K ) ) )
3534fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( A P J ) P -u K
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
361, 2gxcl 21858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) P K )  e.  X )
3725, 27, 28, 36syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P J ) P K )  e.  X
)
381, 20grpo2inv 21832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A P J ) P K )  e.  X )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( ( A P J ) P K ) ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
3925, 37, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P K ) ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
4032, 35, 393eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
41403expia 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
4241exp3a 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
43423impia 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
4443expdimp 428 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
45 elznn0 10301 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  RR  /\  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) ) )
4645simprbi 452 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) )
4746adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  \/  -u K  e. 
NN0 ) )
487, 44, 47mpjaod 372 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
4948ex 425 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
50493expia 1156 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
5150imp3a 422 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
52513impia 1151 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994    x. cmul 9000   -ucneg 9297   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   GrpOpcgr 21779   invcgn 21781   ^gcgx 21783
This theorem is referenced by:  gxmodid  21872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-seq 11329  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-gx 21788
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