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Theorem gxmul 21057
Description: The group power of a product is the composition of the powers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0mul.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0mul.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxmul  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )

Proof of Theorem gxmul
StepHypRef Expression
1 gxnn0mul.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ran  G
2 gxnn0mul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0mul 21056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
433expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
54exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
653impia 1148 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
8 znegcl 10147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  ZZ  ->  -u J  e.  ZZ )
9 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  -> 
-u K  e.  NN0 )
108, 9anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( -u J  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)
111, 2gxnn0mul 21056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( -u J  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( ( A P -u J ) P -u K ) )
1210, 11syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( ( A P
-u J ) P
-u K ) )
13 zcn 10121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
14 zcn 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
16 mul2neg 9309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( -u J  x.  -u K )  =  ( J  x.  K ) )
1713, 15, 16syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( -u J  x.  -u K
)  =  ( J  x.  K ) )
18173ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( -u J  x.  -u K )  =  ( J  x.  K
) )
1918oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( A P ( J  x.  K ) ) )
20 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
211, 20, 2gxneg 21045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P -u J )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P J ) ) )
22213adant3r 1179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P
-u J )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) )
2322oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P -u J ) P -u K )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P J ) ) P
-u K ) )
2412, 19, 233eqtr3d 2398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) P
-u K ) )
25 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
261, 2gxcl 21044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P J )  e.  X )
27263adant3r 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P J )  e.  X
)
28 simp3rl 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
2928znegcld 10211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  -u K  e.  ZZ )
301, 20, 2gxinv 21049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  -u K  e.  ZZ )  ->  (
( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
3125, 27, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P J ) ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
3224, 31eqtrd 2390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
331, 20, 2gxneg 21045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) P -u K
)  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( A P J ) P K ) ) )
3425, 27, 28, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P J ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P K ) ) )
3534fveq2d 5612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( A P J ) P -u K
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
361, 2gxcl 21044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) P K )  e.  X )
3725, 27, 28, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P J ) P K )  e.  X
)
381, 20grpo2inv 21018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A P J ) P K )  e.  X )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( ( A P J ) P K ) ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
3925, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P K ) ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
4032, 35, 393eqtrd 2394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
41403expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
4241exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
43423impia 1148 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
4443expdimp 426 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
45 elznn0 10130 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  RR  /\  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) ) )
4645simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) )
4746adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  \/  -u K  e. 
NN0 ) )
487, 44, 47mpjaod 370 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
4948ex 423 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
50493expia 1153 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
5150imp3a 420 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
52513impia 1148 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   ran crn 4772   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   RRcr 8826    x. cmul 8832   -ucneg 9128   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   GrpOpcgr 20965   invcgn 20967   ^gcgx 20969
This theorem is referenced by:  gxmodid  21058
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-seq 11139  df-grpo 20970  df-gid 20971  df-ginv 20972  df-gx 20974
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