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Theorem gxmul 20945
Description: The group power of a product is the composition of the powers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0mul.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0mul.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxmul  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )

Proof of Theorem gxmul
StepHypRef Expression
1 gxnn0mul.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ran  G
2 gxnn0mul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0mul 20944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
433expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
54exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
653impia 1148 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
8 znegcl 10055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  ZZ  ->  -u J  e.  ZZ )
9 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  -> 
-u K  e.  NN0 )
108, 9anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( -u J  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)
111, 2gxnn0mul 20944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( -u J  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )
)  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( ( A P -u J ) P -u K ) )
1210, 11syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( ( A P
-u J ) P
-u K ) )
13 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
14 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
16 mul2neg 9219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( -u J  x.  -u K )  =  ( J  x.  K ) )
1713, 15, 16syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( -u J  x.  -u K
)  =  ( J  x.  K ) )
18173ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( -u J  x.  -u K )  =  ( J  x.  K
) )
1918oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( -u J  x.  -u K ) )  =  ( A P ( J  x.  K ) ) )
20 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
211, 20, 2gxneg 20933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P -u J )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P J ) ) )
22213adant3r 1179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P
-u J )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) )
2322oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P -u J ) P -u K )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P J ) ) P
-u K ) )
2412, 19, 233eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) P
-u K ) )
25 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
261, 2gxcl 20932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P J )  e.  X )
27263adant3r 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P J )  e.  X
)
28 simp3rl 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
2928znegcld 10119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  -u K  e.  ZZ )
301, 20, 2gxinv 20937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  -u K  e.  ZZ )  ->  (
( ( inv `  G
) `  ( A P J ) ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
3125, 27, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( ( inv `  G ) `
 ( A P J ) ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
3224, 31eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P
-u K ) ) )
331, 20, 2gxneg 20933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) P -u K
)  =  ( ( inv `  G ) `
 ( ( A P J ) P K ) ) )
3425, 27, 28, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P J ) P
-u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P K ) ) )
3534fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( A P J ) P -u K
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
361, 2gxcl 20932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) P K )  e.  X )
3725, 27, 28, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( A P J ) P K )  e.  X
)
381, 20grpo2inv 20906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A P J ) P K )  e.  X )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( ( A P J ) P K ) ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
3925, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( inv `  G ) `  (
( inv `  G
) `  ( ( A P J ) P K ) ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
4032, 35, 393eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) ) )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
41403expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 ) )  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
4241exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
43423impia 1148 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
4443expdimp 426 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
45 elznn0 10038 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  RR  /\  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) ) )
4645simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN0 ) )
4746adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e. 
NN0  \/  -u K  e. 
NN0 ) )
487, 44, 47mpjaod 370 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
4948ex 423 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
50493expia 1153 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) ) )
5150imp3a 420 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  x.  K
) )  =  ( ( A P J ) P K ) ) )
52513impia 1148 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( J  x.  K ) )  =  ( ( A P J ) P K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    x. cmul 8742   -ucneg 9038   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   GrpOpcgr 20853   invcgn 20855   ^gcgx 20857
This theorem is referenced by:  gxmodid  20946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gx 20862
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