MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxnn0add Structured version   Unicode version

Theorem gxnn0add 21864
Description: The group power of a sum is the group product of the powers (lemma with nonnegative exponent - use gxadd 21865 instead). (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0add.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0add.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxnn0add  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )

Proof of Theorem gxnn0add
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( J  +  m )  =  ( J  + 
0 ) )
21oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  0 ) ) )
3 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( A P m )  =  ( A P 0 ) )
43oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) )
52, 4eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) ) )
65imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) ) ) )
7 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  k ) )
87oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  k ) ) )
9 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( A P m )  =  ( A P k ) )
109oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )
118, 10eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) )
1211imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) ) )
13 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
1413oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) ) )
15 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P m )  =  ( A P ( k  +  1 ) ) )
1615oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  K ) )
2019oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  K ) ) )
21 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  ( A P m )  =  ( A P K ) )
2221oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
2320, 22eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
2423imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
25 zcn 10289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
2625addid1d 9268 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( J  +  0 )  =  J )
2726oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( A P J ) )
28273ad2ant3 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( A P J ) )
29 gxnn0add.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ran  G
30 gxnn0add.2 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ^g `  G
)
3129, 30gxcl 21855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P J )  e.  X )
32 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
3329, 32grporid 21810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X )  ->  (
( A P J ) G (GId `  G ) )  =  ( A P J ) )
3433ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( ( A P J )  e.  X  ->  ( ( A P J ) G (GId `  G )
)  =  ( A P J ) ) )
35343ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J )  e.  X  -> 
( ( A P J ) G (GId
`  G ) )  =  ( A P J ) ) )
3631, 35mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G (GId `  G ) )  =  ( A P J ) )
3728, 36eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId
`  G ) ) )
3829, 32, 30gx0 21851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
3938oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P J ) G ( A P 0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId `  G )
) )
40393adant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G ( A P 0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId `  G )
) )
4137, 40eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) )
42 nn0z 10306 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
4329, 30gxsuc 21862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
4443oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
45443adant3l 1181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
4645adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
47 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
48313adant3r 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P J )  e.  X )
4948adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P J )  e.  X )
5029, 30gxcl 21855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P k )  e.  X )
51503adant3l 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P k )  e.  X )
5251adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P k )  e.  X )
53 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  A  e.  X )
5429grpoass 21793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A P J )  e.  X  /\  ( A P k )  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
5547, 49, 52, 53, 54syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
5646, 55eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
57 zaddcl 10319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( J  +  k )  e.  ZZ )
5829, 30gxsuc 21862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  +  k )  e.  ZZ )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( A P ( J  +  k ) ) G A ) )
5957, 58syl3an3 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( A P ( J  +  k ) ) G A ) )
60 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  (
( A P ( J  +  k ) ) G A )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
6159, 60sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
62 zcn 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
63 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
64 addass 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6563, 64mp3an3 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6625, 62, 65syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
67663ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6867adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6968oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) ) )
7056, 61, 693eqtr2rd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) )
7170ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) )
72713expia 1156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7372exp3a 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  -> 
( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
74733impia 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  -> 
( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7574com12 30 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7675a2d 25 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7742, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
786, 12, 18, 24, 41, 77nn0ind 10368 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
7978com12 30 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
80793expia 1156 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
8180imp3a 422 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
82813impia 1151 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   GrpOpcgr 21776  GIdcgi 21777   ^gcgx 21780
This theorem is referenced by:  gxadd  21865
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-seq 11326  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783  df-gx 21785
  Copyright terms: Public domain W3C validator