MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxnn0add Unicode version

Theorem gxnn0add 20941
Description: The group power of a sum is the group product of the powers (lemma with nonnegative exponent - use gxadd 20942 instead). (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0add.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0add.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxnn0add  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )

Proof of Theorem gxnn0add
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( J  +  m )  =  ( J  + 
0 ) )
21oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  0 ) ) )
3 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( A P m )  =  ( A P 0 ) )
43oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) )
52, 4eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) ) )
65imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) ) ) )
7 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  k ) )
87oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  k ) ) )
9 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( A P m )  =  ( A P k ) )
109oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )
118, 10eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) )
1211imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) ) )
13 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
1413oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) ) )
15 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P m )  =  ( A P ( k  +  1 ) ) )
1615oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  K ) )
2019oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  K ) ) )
21 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  ( A P m )  =  ( A P K ) )
2221oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
2320, 22eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
2423imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
25 zcn 10029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
2625addid1d 9012 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( J  +  0 )  =  J )
2726oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( A P J ) )
28273ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( A P J ) )
29 gxnn0add.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ran  G
30 gxnn0add.2 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ^g `  G
)
3129, 30gxcl 20932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P J )  e.  X )
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
3329, 32grporid 20887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X )  ->  (
( A P J ) G (GId `  G ) )  =  ( A P J ) )
3433ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( ( A P J )  e.  X  ->  ( ( A P J ) G (GId `  G )
)  =  ( A P J ) ) )
35343ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J )  e.  X  -> 
( ( A P J ) G (GId
`  G ) )  =  ( A P J ) ) )
3631, 35mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G (GId `  G ) )  =  ( A P J ) )
3728, 36eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId
`  G ) ) )
3829, 32, 30gx0 20928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
3938oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P J ) G ( A P 0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId `  G )
) )
40393adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G ( A P 0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId `  G )
) )
4137, 40eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) )
42 nn0z 10046 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
4329, 30gxsuc 20939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
4443oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
45443adant3l 1178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
47 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
48313adant3r 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P J )  e.  X )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P J )  e.  X )
5029, 30gxcl 20932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P k )  e.  X )
51503adant3l 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P k )  e.  X )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P k )  e.  X )
53 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  A  e.  X )
5429grpoass 20870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A P J )  e.  X  /\  ( A P k )  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
5547, 49, 52, 53, 54syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
5646, 55eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
57 zaddcl 10059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( J  +  k )  e.  ZZ )
5829, 30gxsuc 20939 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  +  k )  e.  ZZ )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( A P ( J  +  k ) ) G A ) )
5957, 58syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( A P ( J  +  k ) ) G A ) )
60 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  (
( A P ( J  +  k ) ) G A )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
6159, 60sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
62 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
63 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
64 addass 8824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6563, 64mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6625, 62, 65syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
67663ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6968oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) ) )
7056, 61, 693eqtr2rd 2322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) )
7170ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) )
72713expia 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7372exp3a 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  -> 
( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
74733impia 1148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  -> 
( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7574com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7675a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7742, 76syl 15 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
786, 12, 18, 24, 41, 77nn0ind 10108 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
7978com12 27 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
80793expia 1153 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
8180imp3a 420 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
82813impia 1148 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   GrpOpcgr 20853  GIdcgi 20854   ^gcgx 20857
This theorem is referenced by:  gxadd  20942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gx 20862
  Copyright terms: Public domain W3C validator