MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxnn0add Unicode version

Theorem gxnn0add 20957
Description: The group power of a sum is the group product of the powers (lemma with nonnegative exponent - use gxadd 20958 instead). (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0add.1  |-  X  =  ran  G
gxnn0add.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxnn0add  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )

Proof of Theorem gxnn0add
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( J  +  m )  =  ( J  + 
0 ) )
21oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  0 ) ) )
3 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( A P m )  =  ( A P 0 ) )
43oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) )
52, 4eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) ) )
65imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) ) ) )
7 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  k ) )
87oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  k ) ) )
9 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( A P m )  =  ( A P k ) )
109oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )
118, 10eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) )
1211imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) ) ) )
13 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
1413oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) ) )
15 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( A P m )  =  ( A P ( k  +  1 ) ) )
1615oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  ( J  +  m )  =  ( J  +  K ) )
2019oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  ( A P ( J  +  m ) )  =  ( A P ( J  +  K ) ) )
21 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  ( A P m )  =  ( A P K ) )
2221oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P J ) G ( A P m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
2320, 22eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( m  =  K  ->  (
( A P ( J  +  m ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) )  <->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
2423imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  m
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P m ) ) )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K
) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
25 zcn 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
2625addid1d 9028 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( J  +  0 )  =  J )
2726oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( A P J ) )
28273ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( A P J ) )
29 gxnn0add.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ran  G
30 gxnn0add.2 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ^g `  G
)
3129, 30gxcl 20948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P J )  e.  X )
32 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
3329, 32grporid 20903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P J )  e.  X )  ->  (
( A P J ) G (GId `  G ) )  =  ( A P J ) )
3433ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( ( A P J )  e.  X  ->  ( ( A P J ) G (GId `  G )
)  =  ( A P J ) ) )
35343ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J )  e.  X  -> 
( ( A P J ) G (GId
`  G ) )  =  ( A P J ) ) )
3631, 35mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G (GId `  G ) )  =  ( A P J ) )
3728, 36eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId
`  G ) ) )
3829, 32, 30gx0 20944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A P 0 )  =  (GId `  G )
)
3938oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P J ) G ( A P 0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId `  G )
) )
40393adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G ( A P 0 ) )  =  ( ( A P J ) G (GId `  G )
) )
4137, 40eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  + 
0 ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P 0 ) ) )
42 nn0z 10062 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
4329, 30gxsuc 20955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P ( k  +  1 ) )  =  ( ( A P k ) G A ) )
4443oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
45443adant3l 1178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
47 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
48313adant3r 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P J )  e.  X )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P J )  e.  X )
5029, 30gxcl 20948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A P k )  e.  X )
51503adant3l 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P k )  e.  X )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P k )  e.  X )
53 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  A  e.  X )
5429grpoass 20886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A P J )  e.  X  /\  ( A P k )  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
5547, 49, 52, 53, 54syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A )  =  ( ( A P J ) G ( ( A P k ) G A ) ) )
5646, 55eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
57 zaddcl 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( J  +  k )  e.  ZZ )
5829, 30gxsuc 20955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  +  k )  e.  ZZ )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( A P ( J  +  k ) ) G A ) )
5957, 58syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( A P ( J  +  k ) ) G A ) )
60 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  (
( A P ( J  +  k ) ) G A )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
6159, 60sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( A P J ) G ( A P k ) ) G A ) )
62 zcn 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
63 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
64 addass 8840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6563, 64mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6625, 62, 65syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
67663ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  (
( J  +  k )  +  1 )  =  ( J  +  ( k  +  1 ) ) )
6968oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( ( J  +  k )  +  1 ) )  =  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) ) )
7056, 61, 693eqtr2rd 2335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) )
7170ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) )
72713expia 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7372exp3a 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  -> 
( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
74733impia 1148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  -> 
( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7574com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7675a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7742, 76syl 15 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  k ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P k ) ) )  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
786, 12, 18, 24, 41, 77nn0ind 10124 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
7978com12 27 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
80793expia 1153 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) ) )
8180imp3a 420 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) ) )
82813impia 1148 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN0 ) )  -> 
( A P ( J  +  K ) )  =  ( ( A P J ) G ( A P K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   GrpOpcgr 20869  GIdcgi 20870   ^gcgx 20873
This theorem is referenced by:  gxadd  20958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gx 20878
  Copyright terms: Public domain W3C validator