Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxnn0neg Structured version   Unicode version

Theorem gxnn0neg 21843
 Description: A negative group power is the inverse of the positive power (lemma with nonnegative exponent - use gxneg 21846 instead). (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxnn0neg.1
gxnn0neg.2
gxnn0neg.3
Assertion
Ref Expression
gxnn0neg

Proof of Theorem gxnn0neg
StepHypRef Expression
1 elnn0 10215 . . 3
2 nnnegz 10277 . . . . . . . 8
3 nngt0 10021 . . . . . . . . 9
4 nnre 9999 . . . . . . . . . 10
54lt0neg2d 9589 . . . . . . . . 9
63, 5mpbid 202 . . . . . . . 8
72, 6jca 519 . . . . . . 7
8 gxnn0neg.1 . . . . . . . 8
9 gxnn0neg.3 . . . . . . . 8
10 gxnn0neg.2 . . . . . . . 8
118, 9, 10gxnval 21840 . . . . . . 7
127, 11syl3an3 1219 . . . . . 6
138, 9gxpval 21839 . . . . . . . 8
14 nncn 10000 . . . . . . . . . . 11
1514negnegd 9394 . . . . . . . . . 10
1615fveq2d 5724 . . . . . . . . 9
17163ad2ant3 980 . . . . . . . 8
1813, 17eqtr4d 2470 . . . . . . 7
1918fveq2d 5724 . . . . . 6
2012, 19eqtr4d 2470 . . . . 5
21203expia 1155 . . . 4
22 negeq 9290 . . . . . . . . 9
23 neg0 9339 . . . . . . . . 9
2422, 23syl6eq 2483 . . . . . . . 8
2524oveq2d 6089 . . . . . . 7
26 eqid 2435 . . . . . . . 8 GId GId
278, 26, 9gx0 21841 . . . . . . 7 GId
2825, 27sylan9eqr 2489 . . . . . 6 GId
29 oveq2 6081 . . . . . . . 8
3029fveq2d 5724 . . . . . . 7
3127fveq2d 5724 . . . . . . . 8 GId
3226, 10grpoinvid 21812 . . . . . . . . 9 GId GId
3332adantr 452 . . . . . . . 8 GId GId
3431, 33eqtrd 2467 . . . . . . 7 GId
3530, 34sylan9eqr 2489 . . . . . 6 GId
3628, 35eqtr4d 2470 . . . . 5
3736ex 424 . . . 4
3821, 37jaod 370 . . 3
391, 38syl5bi 209 . 2
40393impia 1150 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  csn 3806   class class class wbr 4204   cxp 4868   crn 4871  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc0 8982  c1 8983   clt 9112  cneg 9284  cn 9992  cn0 10213  cz 10274   cseq 11315  cgr 21766  GIdcgi 21767  cgn 21768  cgx 21770 This theorem is referenced by:  gxcl  21845  gxneg  21846 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-seq 11316  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gx 21775
 Copyright terms: Public domain W3C validator