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Theorem gxsuc 20955
Description: Induction on group power. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxsuc.1  |-  X  =  ran  G
gxsuc.2  |-  P  =  ( ^g `  G
)
Assertion
Ref Expression
gxsuc  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )

Proof of Theorem gxsuc
StepHypRef Expression
1 gxsuc.1 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
2 gxsuc.2 . . . . 5  |-  P  =  ( ^g `  G
)
31, 2gxnn0suc 20947 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e. 
NN0 )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
433expia 1153 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
543adant3 975 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
6 simp3l 983 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
71, 2gxcom 20952 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( A P K ) G A )  =  ( A G ( A P K ) ) )
86, 7syld3an3 1227 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P K ) G A )  =  ( A G ( A P K ) ) )
9 simp1 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  G  e.  GrpOp )
10 peano2z 10076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
116, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( K  +  1 )  e.  ZZ )
121, 2gxcl 20948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  e.  X )
1311, 12syld3an3 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  e.  X )
14 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
151, 14grpo2inv 20922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
169, 13, 15syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
1716oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( ( inv `  G ) `
 ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )
18 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u K  e.  NN  ->  (
-u K  -  1 )  e.  NN0 )
1918adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 )
20 zcn 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
21 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
22 negdi 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( K  + 
1 )  =  (
-u K  +  -u
1 ) )
2320, 21, 22sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u ( K  +  1 )  =  ( -u K  +  -u 1 ) )
2420negcld 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u K  e.  CC )
25 negsub 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u K  +  -u 1 )  =  ( -u K  - 
1 ) )
2624, 21, 25sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u K  +  -u 1
)  =  ( -u K  -  1 ) )
2723, 26eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u ( K  +  1 )  =  ( -u K  -  1 ) )
2827eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  e.  NN0  <->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 ) )
2928adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( -u ( K  +  1 )  e.  NN0  <->  ( -u K  -  1 )  e. 
NN0 ) )
3019, 29mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  -u ( K  + 
1 )  e.  NN0 )
311, 2gxnn0suc 20947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  -u ( K  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A P -u ( K  +  1
) ) G A ) )
3230, 31syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A P -u ( K  +  1
) ) G A ) )
3327oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  +  1 )  =  ( ( -u K  -  1 )  +  1 ) )
34 npcan 9076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u K  -  1 )  +  1 )  = 
-u K )
3524, 21, 34sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( -u K  -  1 )  +  1 )  =  -u K )
3633, 35eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -u ( K  +  1 )  +  1 )  =  -u K )
3736oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A P ( -u ( K  +  1 )  +  1 ) )  =  ( A P
-u K ) )
386, 37syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P (
-u ( K  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( A P -u K
) )
3932, 38eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P
-u ( K  + 
1 ) ) G A )  =  ( A P -u K
) )
401, 14, 2gxneg 20949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A P -u ( K  +  1
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
4110, 40syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P -u ( K  +  1 ) )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
426, 41syld3an3 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P -u ( K  +  1
) )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) )
4342oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( A P
-u ( K  + 
1 ) ) G A )  =  ( ( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )
441, 14, 2gxneg 20949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P -u K )  =  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )
456, 44syld3an3 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P -u K )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )
4639, 43, 453eqtr3d 2336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A )  =  ( ( inv `  G
) `  ( A P K ) ) )
4746fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( inv `  G ) `  (
( inv `  G
) `  ( A P K ) ) ) )
481, 14grpoinvcl 20909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X )
499, 13, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X )
50 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  A  e.  X )
511, 14grpoinvop 20924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) ) ) )
529, 49, 50, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( (
( inv `  G
) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) G A ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  +  1 ) ) ) ) ) )
531, 2gxcl 20948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P K )  e.  X )
546, 53syld3an3 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P K )  e.  X )
551, 14grpo2inv 20922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A P K )  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )  =  ( A P K ) )
569, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  ( ( inv `  G ) `  ( A P K ) ) )  =  ( A P K ) )
5747, 52, 563eqtr3d 2336 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( ( inv `  G ) `
 ( ( inv `  G ) `  ( A P ( K  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( A P K ) )
5817, 57eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( A P ( K  + 
1 ) ) )  =  ( A P K ) )
5958oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A G ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A G ( A P K ) ) )
601, 14grpoasscan1 20920 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( A P ( K  + 
1 ) )  e.  X )  ->  ( A G ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
6113, 60syld3an3 1227 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A G ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( A P ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( A P ( K  +  1 ) ) )
628, 59, 613eqtr2rd 2335 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  ( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN ) )  -> 
( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
63623expia 1153 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  -u K  e.  NN )  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
6463exp3a 425 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  (
-u K  e.  NN  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) ) )
65643impia 1148 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u K  e.  NN  ->  ( A P ( K  +  1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) ) )
66 elznn0nn 10053 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  <->  ( K  e.  NN0  \/  ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN ) ) )
67 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN )  ->  -u K  e.  NN )
6867orim2i 504 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  \/  ( K  e.  RR  /\  -u K  e.  NN ) )  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
6966, 68sylbi 187 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
70693ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  \/  -u K  e.  NN ) )
715, 65, 70mpjaod 370 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A P ( K  + 
1 ) )  =  ( ( A P K ) G A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    - cmin 9053   -ucneg 9054   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   GrpOpcgr 20869   invcgn 20871   ^gcgx 20873
This theorem is referenced by:  gxid  20956  gxnn0add  20957  gxnn0mul  20960  gxdi  20979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gx 20878
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