Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gxval Structured version   Unicode version

Theorem gxval 21846
 Description: The result of the group power operator. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gxfval.1
gxfval.2 GId
gxfval.3
gxfval.4
Assertion
Ref Expression
gxval

Proof of Theorem gxval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gxfval.1 . . . . 5
2 gxfval.2 . . . . 5 GId
3 gxfval.3 . . . . 5
4 gxfval.4 . . . . 5
51, 2, 3, 4gxfval 21845 . . . 4
65oveqd 6098 . . 3
7 sneq 3825 . . . . . . . . 9
87xpeq2d 4902 . . . . . . . 8
98seqeq3d 11331 . . . . . . 7
109fveq1d 5730 . . . . . 6
119fveq1d 5730 . . . . . . 7
1211fveq2d 5732 . . . . . 6
1310, 12ifeq12d 3755 . . . . 5
1413ifeq2d 3754 . . . 4
15 eqeq1 2442 . . . . 5
16 breq2 4216 . . . . . 6
17 fveq2 5728 . . . . . 6
18 negeq 9298 . . . . . . . 8
1918fveq2d 5732 . . . . . . 7
2019fveq2d 5732 . . . . . 6
2116, 17, 20ifbieq12d 3761 . . . . 5
2215, 21ifbieq2d 3759 . . . 4
23 eqid 2436 . . . 4
24 fvex 5742 . . . . . 6 GId
252, 24eqeltri 2506 . . . . 5
26 fvex 5742 . . . . . 6
27 fvex 5742 . . . . . 6
2826, 27ifex 3797 . . . . 5
2925, 28ifex 3797 . . . 4
3014, 22, 23, 29ovmpt2 6209 . . 3
316, 30sylan9eq 2488 . 2
32313impb 1149 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956  cif 3739  csn 3814   class class class wbr 4212   cxp 4876   crn 4879  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cc0 8990  c1 8991   clt 9120  cneg 9292  cn 10000  cz 10282   cseq 11323  cgr 21774  GIdcgi 21775  cgn 21776  cgx 21778 This theorem is referenced by:  gxpval  21847  gxnval  21848  gx0  21849 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-neg 9294  df-z 10283  df-seq 11324  df-gx 21783
 Copyright terms: Public domain W3C validator