Theorem gzcjcl 13335

Description: The gaussian integers are closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcjcl	|- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( * ` A ) e. ZZ [ _i ] )

Proof of Theorem gzcjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 13331	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> A e. CC )
2	1	cjcld 12032	. 2 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( * ` A ) e. CC )
3	1	recjd 12040	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Re ` ( * ` A ) ) = ( Re ` A ) )
4		elgz 13330	. . . 4 |- ( A e. ZZ [ _i ] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
5	4	simp2bi 974	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
6	3, 5	eqeltrd 2516	. 2 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Re ` ( * ` A ) ) e. ZZ )
7	1	imcjd 12041	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Im ` ( * ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
8	4	simp3bi 975	. . . 4 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
9	8	znegcld 10408	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> -u ( Im ` A ) e. ZZ )
10	7, 9	eqeltrd 2516	. 2 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Im ` ( * ` A ) ) e. ZZ )
11		elgz 13330	. 2 |- ( ( * ` A ) e. ZZ [ _i ] <-> ( ( * ` A ) e. CC /\ ( Re ` ( * ` A ) ) e. ZZ /\ ( Im ` ( * ` A ) ) e. ZZ ) )
12	2, 6, 10, 11	syl3anbrc 1139	1 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( * ` A ) e. ZZ [ _i ] )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1727   ` cfv 5483   CCcc 9019   -ucneg 9323   ZZcz 10313   *ccj 11932   Recre 11933   Imcim 11934   ZZ [ _i ]cgz 13328

This theorem is referenced by:  mul4sqlem  13352  gzrngunit  16795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-z 10314  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-gz 13329