Theorem gzcjcl 13263

Description: The gaussian integers are closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcjcl	|- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( * ` A ) e. ZZ [ _i ] )

Proof of Theorem gzcjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 13259	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> A e. CC )
2	1	cjcld 11960	. 2 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( * ` A ) e. CC )
3	1	recjd 11968	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Re ` ( * ` A ) ) = ( Re ` A ) )
4		elgz 13258	. . . 4 |- ( A e. ZZ [ _i ] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
5	4	simp2bi 973	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
6	3, 5	eqeltrd 2482	. 2 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Re ` ( * ` A ) ) e. ZZ )
7	1	imcjd 11969	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Im ` ( * ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
8	4	simp3bi 974	. . . 4 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
9	8	znegcld 10337	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> -u ( Im ` A ) e. ZZ )
10	7, 9	eqeltrd 2482	. 2 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Im ` ( * ` A ) ) e. ZZ )
11		elgz 13258	. 2 |- ( ( * ` A ) e. ZZ [ _i ] <-> ( ( * ` A ) e. CC /\ ( Re ` ( * ` A ) ) e. ZZ /\ ( Im ` ( * ` A ) ) e. ZZ ) )
12	2, 6, 10, 11	syl3anbrc 1138	1 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( * ` A ) e. ZZ [ _i ] )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721   ` cfv 5417   CCcc 8948   -ucneg 9252   ZZcz 10242   *ccj 11860   Recre 11861   Imcim 11862   ZZ [ _i ]cgz 13256

This theorem is referenced by:  mul4sqlem  13280  gzrngunit  16723

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-z 10243  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-gz 13257