Theorem gzcjcl 12983

Description: The gaussian integers are closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gzcjcl	|- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( * ` A ) e. ZZ [ _i ] )

Proof of Theorem gzcjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 12979	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> A e. CC )
2	1	cjcld 11681	. 2 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( * ` A ) e. CC )
3	1	recjd 11689	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Re ` ( * ` A ) ) = ( Re ` A ) )
4		elgz 12978	. . . 4 |- ( A e. ZZ [ _i ] <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ZZ /\ ( Im ` A ) e. ZZ ) )
5	4	simp2bi 971	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Re ` A ) e. ZZ )
6	3, 5	eqeltrd 2357	. 2 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Re ` ( * ` A ) ) e. ZZ )
7	1	imcjd 11690	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Im ` ( * ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
8	4	simp3bi 972	. . . 4 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Im ` A ) e. ZZ )
9	8	znegcld 10119	. . 3 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> -u ( Im ` A ) e. ZZ )
10	7, 9	eqeltrd 2357	. 2 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( Im ` ( * ` A ) ) e. ZZ )
11		elgz 12978	. 2 |- ( ( * ` A ) e. ZZ [ _i ] <-> ( ( * ` A ) e. CC /\ ( Re ` ( * ` A ) ) e. ZZ /\ ( Im ` ( * ` A ) ) e. ZZ ) )
12	2, 6, 10, 11	syl3anbrc 1136	1 |- ( A e. ZZ [ _i ] -> ( * ` A ) e. ZZ [ _i ] )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1684   ` cfv 5255   CCcc 8735   -ucneg 9038   ZZcz 10024   *ccj 11581   Recre 11582   Imcim 11583   ZZ [ _i ]cgz 12976

This theorem is referenced by:  mul4sqlem  13000  gzrngunit  16437

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-z 10025  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-gz 12977