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Theorem gzmulcl 13337
Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzmulcl  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( A  x.  B )  e.  ZZ [ _i ] )

Proof of Theorem gzmulcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 13331 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  A  e.  CC )
2 gzcn 13331 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  B  e.  CC )
3 mulcl 9105 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2an 465 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( A  x.  B )  e.  CC )
5 remul 11965 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
61, 2, 5syl2an 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( Re `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
7 elgz 13330 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  A )  e.  ZZ ) )
87simp2bi 974 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Re `  A )  e.  ZZ )
9 elgz 13330 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( B  e.  CC  /\  ( Re `  B
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  B )  e.  ZZ ) )
109simp2bi 974 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Re `  B )  e.  ZZ )
11 zmulcl 10355 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Re `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  ZZ )
128, 10, 11syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
Re `  A )  x.  ( Re `  B
) )  e.  ZZ )
137simp3bi 975 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Im `  A )  e.  ZZ )
149simp3bi 975 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Im `  B )  e.  ZZ )
15 zmulcl 10355 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  ZZ )
1613, 14, 15syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
Im `  A )  x.  ( Im `  B
) )  e.  ZZ )
1712, 16zsubcld 10411 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  e.  ZZ )
186, 17eqeltrd 2516 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( Re `  ( A  x.  B
) )  e.  ZZ )
19 immul 11972 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
201, 2, 19syl2an 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( Im `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) )
21 zmulcl 10355 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  ZZ )
228, 14, 21syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
Re `  A )  x.  ( Im `  B
) )  e.  ZZ )
23 zmulcl 10355 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Re `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  ZZ )
2413, 10, 23syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
Im `  A )  x.  ( Re `  B
) )  e.  ZZ )
2522, 24zaddcld 10410 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) )  e.  ZZ )
2620, 25eqeltrd 2516 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( Im `  ( A  x.  B
) )  e.  ZZ )
27 elgz 13330 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( ( A  x.  B )  e.  CC  /\  ( Re `  ( A  x.  B )
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  ( A  x.  B ) )  e.  ZZ ) )
284, 18, 26, 27syl3anbrc 1139 1  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( A  x.  B )  e.  ZZ [ _i ] )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019    + caddc 9024    x. cmul 9026    - cmin 9322   ZZcz 10313   Recre 11933   Imcim 11934   ZZ [ _i ]cgz 13328
This theorem is referenced by:  gzreim  13338  mul4sqlem  13352  gzsubrg  16784  mul2sq  21180  2sqlem3  21181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-gz 13329
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