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Theorem gzmulcl 13001
Description: The gaussian integers are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzmulcl  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( A  x.  B )  e.  ZZ [ _i ] )

Proof of Theorem gzmulcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 12995 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  A  e.  CC )
2 gzcn 12995 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  B  e.  CC )
3 mulcl 8837 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( A  x.  B )  e.  CC )
5 remul 11630 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
61, 2, 5syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( Re `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
7 elgz 12994 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  A )  e.  ZZ ) )
87simp2bi 971 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Re `  A )  e.  ZZ )
9 elgz 12994 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( B  e.  CC  /\  ( Re `  B
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  B )  e.  ZZ ) )
109simp2bi 971 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Re `  B )  e.  ZZ )
11 zmulcl 10082 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Re `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  ZZ )
128, 10, 11syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
Re `  A )  x.  ( Re `  B
) )  e.  ZZ )
137simp3bi 972 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Im `  A )  e.  ZZ )
149simp3bi 972 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Im `  B )  e.  ZZ )
15 zmulcl 10082 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  ZZ )
1613, 14, 15syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
Im `  A )  x.  ( Im `  B
) )  e.  ZZ )
1712, 16zsubcld 10138 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  e.  ZZ )
186, 17eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( Re `  ( A  x.  B
) )  e.  ZZ )
19 immul 11637 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
201, 2, 19syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( Im `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) )
21 zmulcl 10082 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  ZZ )
228, 14, 21syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
Re `  A )  x.  ( Im `  B
) )  e.  ZZ )
23 zmulcl 10082 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  ZZ  /\  ( Re `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  ZZ )
2413, 10, 23syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
Im `  A )  x.  ( Re `  B
) )  e.  ZZ )
2522, 24zaddcld 10137 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) )  e.  ZZ )
2620, 25eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( Im `  ( A  x.  B
) )  e.  ZZ )
27 elgz 12994 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( ( A  x.  B )  e.  CC  /\  ( Re `  ( A  x.  B )
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  ( A  x.  B ) )  e.  ZZ ) )
284, 18, 26, 27syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( A  e.  ZZ [
_i ]  /\  B  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( A  x.  B )  e.  ZZ [ _i ] )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   ZZcz 10040   Recre 11598   Imcim 11599   ZZ [ _i ]cgz 12992
This theorem is referenced by:  gzreim  13002  mul4sqlem  13016  gzsubrg  16442  mul2sq  20620  2sqlem3  20621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-gz 12993
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