Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunit Unicode version

Theorem gzrngunit 16543
 Description: The units on are the gaussian integers with norm . (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1 flds
Assertion
Ref Expression
gzrngunit Unit

Proof of Theorem gzrngunit
StepHypRef Expression
1 gzsubrg 16532 . . . . 5 SubRingfld
2 gzrng.1 . . . . . 6 flds
32subrgbas 15653 . . . . 5 SubRingfld
41, 3ax-mp 8 . . . 4
5 eqid 2358 . . . 4 Unit Unit
64, 5unitcl 15540 . . 3 Unit
7 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12 fld fld
8 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12
92, 7, 5, 8subrginv 15660 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld Unit fld
101, 9mpan 651 . . . . . . . . . 10 Unit fld
11 gzcn 13076 . . . . . . . . . . . 12
126, 11syl 15 . . . . . . . . . . 11 Unit
13 0re 8928 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
15 1re 8927 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
1712abscld 12014 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
18 0lt1 9386 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
202gzrngunitlem 16542 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
2114, 16, 17, 19, 20ltletrd 9066 . . . . . . . . . . . . 13 Unit
2221gt0ne0d 9427 . . . . . . . . . . . 12 Unit
23 abs00 11870 . . . . . . . . . . . . . 14
2412, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 Unit
2524necon3bid 2556 . . . . . . . . . . . 12 Unit
2622, 25mpbid 201 . . . . . . . . . . 11 Unit
27 cnfldinv 16511 . . . . . . . . . . 11 fld
2812, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 Unit fld
2910, 28eqtr3d 2392 . . . . . . . . 9 Unit
302subrgrng 15647 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld
311, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
325, 8unitinvcl 15555 . . . . . . . . . 10 Unit Unit
3331, 32mpan 651 . . . . . . . . 9 Unit Unit
3429, 33eqeltrrd 2433 . . . . . . . 8 Unit Unit
352gzrngunitlem 16542 . . . . . . . 8 Unit
3634, 35syl 15 . . . . . . 7 Unit
37 ax-1cn 8885 . . . . . . . . 9
3837a1i 10 . . . . . . . 8 Unit
3938, 12, 26absdivd 12033 . . . . . . 7 Unit
4036, 39breqtrd 4128 . . . . . 6 Unit
4137div1i 9578 . . . . . 6
42 abs1 11878 . . . . . . . 8
4342eqcomi 2362 . . . . . . 7
4443oveq1i 5955 . . . . . 6
4540, 41, 443brtr4g 4136 . . . . 5 Unit
46 lerec 9728 . . . . . 6
4717, 21, 16, 19, 46syl22anc 1183 . . . . 5 Unit
4845, 47mpbird 223 . . . 4 Unit
49 letri3 8997 . . . . 5
5017, 15, 49sylancl 643 . . . 4 Unit
5148, 20, 50mpbir2and 888 . . 3 Unit
526, 51jca 518 . 2 Unit
5311adantr 451 . . . 4
54 simpr 447 . . . . . 6
55 ax-1ne0 8896 . . . . . . 7
5655a1i 10 . . . . . 6
5754, 56eqnetrd 2539 . . . . 5
58 fveq2 5608 . . . . . . 7
59 abs0 11866 . . . . . . 7
6058, 59syl6eq 2406 . . . . . 6
6160necon3i 2560 . . . . 5
6257, 61syl 15 . . . 4
63 eldifsn 3825 . . . 4
6453, 62, 63sylanbrc 645 . . 3
65 simpl 443 . . 3
6653, 62, 27syl2anc 642 . . . . 5 fld
6753absvalsqd 12020 . . . . . . 7
6854oveq1d 5960 . . . . . . . 8
69 sq1 11291 . . . . . . . 8
7068, 69syl6eq 2406 . . . . . . 7
7167, 70eqtr3d 2392 . . . . . 6
7271oveq1d 5960 . . . . 5
7353cjcld 11777 . . . . . 6
7473, 53, 62divcan3d 9631 . . . . 5
7566, 72, 743eqtr2d 2396 . . . 4 fld
76 gzcjcl 13080 . . . . 5
7776adantr 451 . . . 4
7875, 77eqeltrd 2432 . . 3 fld
79 cnfldbas 16486 . . . . . 6 fld
80 cnfld0 16504 . . . . . 6 fld
81 cndrng 16509 . . . . . 6 fld
8279, 80, 81drngui 15617 . . . . 5 Unitfld
832, 82, 5, 7subrgunit 15662 . . . 4 SubRingfld Unit fld
841, 83ax-mp 8 . . 3 Unit fld
8564, 65, 78, 84syl3anbrc 1136 . 2 Unit
8652, 85impbii 180 1 Unit
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521   cdif 3225  csn 3716   class class class wbr 4104  cfv 5337  (class class class)co 5945  cc 8825  cr 8826  cc0 8827  c1 8828   cmul 8832   clt 8957   cle 8958   cdiv 9513  c2 9885  cexp 11197  ccj 11677  cabs 11815  cgz 13073  cbs 13245   ↾s cress 13246  crg 15436  Unitcui 15520  cinvr 15552  SubRingcsubrg 15640  ℂfldccnfld 16482 This theorem is referenced by:  zrngunit  16544 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fz 10875  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-gz 13074  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-subg 14717  df-cmn 15190  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-cring 15440  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-dvr 15564  df-drng 15613  df-subrg 15642  df-cnfld 16483
 Copyright terms: Public domain W3C validator