MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Structured version   Unicode version

Theorem gzrngunitlem 16765
Description: Lemma for gzrngunit 16766. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1  |-  Z  =  (flds  ZZ [ _i ] )
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 11478 . . 3  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2 ax-1ne0 9061 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
3 gzsubrg 16755 . . . . . . 7  |-  ZZ [
_i ]  e.  (SubRing ` fld )
4 gzrng.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  (flds  ZZ [ _i ] )
54subrgrng 15873 . . . . . . 7  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e.  Ring )
6 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
7 subrgsubg 15876 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ [ _i ]  e.  (SubGrp ` fld ) )
8 cnfld0 16727 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g ` fld )
94, 8subg0 14952 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubGrp ` fld )  ->  0  =  ( 0g `  Z ) )
103, 7, 9mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( 0g `  Z )
11 cnfld1 16728 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 1r ` fld )
124, 11subrg1 15880 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  Z ) )
133, 12ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 1r `  Z )
146, 10, 130unit 15787 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 0  e.  (Unit `  Z
)  <->  1  =  0 ) )
153, 5, 14mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  (Unit `  Z
)  <->  1  =  0 )
162, 15nemtbir 2694 . . . . 5  |-  -.  0  e.  (Unit `  Z )
174subrgbas 15879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ [ _i ]  =  ( Base `  Z ) )
183, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ [
_i ]  =  (
Base `  Z )
1918, 6unitcl 15766 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  A  e.  ZZ [ _i ] )
20 gzabssqcl 13311 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( abs `  A ) ^ 2 )  e.  NN0 )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN0 )
22 elnn0 10225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  e.  NN  \/  ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
2321, 22sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  \/  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0 ) )
2423ord 368 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( -.  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0 ) )
25 gzcn 13302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  A  e.  CC )
2619, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  A  e.  CC )
2726abscld 12240 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
2827recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
29 sqeq0 11448 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  0 ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  0 ) )
3126abs00ad 12097 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A )  =  0  <->  A  =  0
) )
32 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  (Unit `  Z
)  <->  0  e.  (Unit `  Z ) ) )
3332biimpcd 217 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( A  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3431, 33sylbid 208 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A )  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z ) ) )
3530, 34sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3624, 35syld 43 . . . . 5  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( -.  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3716, 36mt3i 121 . . . 4  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN )
3837nnge1d 10044 . . 3  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
391, 38syl5eqbr 4247 . 2  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
4026absge0d 12248 . . 3  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
41 1re 9092 . . . 4  |-  1  e.  RR
42 0le1 9553 . . . 4  |-  0  <_  1
43 le2sq 11458 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A ) ) )  ->  ( 1  <_ 
( abs `  A
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <_  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4441, 42, 43mpanl12 665 . . 3  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  (
1  <_  ( abs `  A )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4527, 40, 44syl2anc 644 . 2  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( 1  <_  ( abs `  A
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <_  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4639, 45mpbird 225 1  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    <_ cle 9123   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ^cexp 11384   abscabs 12041   ZZ [ _i ]cgz 13299   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   0gc0g 13725  SubGrpcsubg 14940   Ringcrg 15662   1rcur 15664  Unitcui 15746  SubRingcsubrg 15866  ℂfldccnfld 16705
This theorem is referenced by:  gzrngunit  16766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-gz 13300  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-subg 14943  df-cmn 15416  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-subrg 15868  df-cnfld 16706
  Copyright terms: Public domain W3C validator