MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Unicode version

Theorem gzrngunitlem 16452
Description: Lemma for gzrngunit 16453. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1  |-  Z  =  (flds  ZZ [ _i ] )
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 11214 . . 3  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2 ax-1ne0 8822 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
3 gzsubrg 16442 . . . . . . 7  |-  ZZ [
_i ]  e.  (SubRing ` fld )
4 gzrng.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  (flds  ZZ [ _i ] )
54subrgrng 15564 . . . . . . 7  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e.  Ring )
6 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
7 subrgsubg 15567 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ [ _i ]  e.  (SubGrp ` fld ) )
8 cnfld0 16414 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g ` fld )
94, 8subg0 14643 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubGrp ` fld )  ->  0  =  ( 0g `  Z ) )
103, 7, 9mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( 0g `  Z )
11 cnfld1 16415 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 1r ` fld )
124, 11subrg1 15571 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  Z ) )
133, 12ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 1r `  Z )
146, 10, 130unit 15478 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 0  e.  (Unit `  Z
)  <->  1  =  0 ) )
153, 5, 14mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  (Unit `  Z
)  <->  1  =  0 )
162, 15nemtbir 2547 . . . . 5  |-  -.  0  e.  (Unit `  Z )
174subrgbas 15570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ [ _i ]  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ [ _i ]  =  ( Base `  Z ) )
183, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ [
_i ]  =  (
Base `  Z )
1918, 6unitcl 15457 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  A  e.  ZZ [ _i ] )
20 gzabssqcl 13004 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( abs `  A ) ^ 2 )  e.  NN0 )
2119, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN0 )
22 elnn0 9983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  e.  NN  \/  ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
2321, 22sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  \/  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0 ) )
2423ord 366 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( -.  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0 ) )
25 gzcn 12995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ [ _i ]  ->  A  e.  CC )
2619, 25syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  A  e.  CC )
2726abscld 11934 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
2827recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
29 sqeq0 11184 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  0 ) )
3028, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  0 ) )
31 abs00 11790 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
3226, 31syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A )  =  0  <->  A  =  0
) )
33 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  (Unit `  Z
)  <->  0  e.  (Unit `  Z ) ) )
3433biimpcd 215 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( A  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3532, 34sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A )  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z ) ) )
3630, 35sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3724, 36syld 40 . . . . 5  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( -.  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3816, 37mt3i 118 . . . 4  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN )
3938nnge1d 9804 . . 3  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
401, 39syl5eqbr 4072 . 2  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
4126absge0d 11942 . . 3  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
42 1re 8853 . . . 4  |-  1  e.  RR
43 0le1 9313 . . . 4  |-  0  <_  1
44 le2sq 11194 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A ) ) )  ->  ( 1  <_ 
( abs `  A
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <_  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4542, 43, 44mpanl12 663 . . 3  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  (
1  <_  ( abs `  A )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4627, 41, 45syl2anc 642 . 2  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( 1  <_  ( abs `  A
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <_  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4740, 46mpbird 223 1  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    <_ cle 8884   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ^cexp 11120   abscabs 11735   ZZ [ _i ]cgz 12992   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   0gc0g 13416  SubGrpcsubg 14631   Ringcrg 15353   1rcur 15355  Unitcui 15437  SubRingcsubrg 15557  ℂfldccnfld 16393
This theorem is referenced by:  gzrngunit  16453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-gz 12993  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-subrg 15559  df-cnfld 16394
  Copyright terms: Public domain W3C validator