MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzsubrg Structured version   Unicode version

Theorem gzsubrg 16753
Description: The gaussian integers form a subring of the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzsubrg  |-  ZZ [
_i ]  e.  (SubRing ` fld )

Proof of Theorem gzsubrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gzcn 13300 . 2  |-  ( x  e.  ZZ [ _i ]  ->  x  e.  CC )
2 gzaddcl 13305 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ [
_i ]  /\  y  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( x  +  y )  e.  ZZ [ _i ]
)
3 gznegcl 13303 . 2  |-  ( x  e.  ZZ [ _i ]  ->  -u x  e.  ZZ [ _i ] )
4 1z 10311 . . 3  |-  1  e.  ZZ
5 zgz 13301 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ZZ [ _i ]
)
64, 5ax-mp 8 . 2  |-  1  e.  ZZ [ _i ]
7 gzmulcl 13306 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ [
_i ]  /\  y  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( x  x.  y )  e.  ZZ [ _i ] )
81, 2, 3, 6, 7cnsubrglem 16748 1  |-  ZZ [
_i ]  e.  (SubRing ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   ` cfv 5454   1c1 8991   ZZcz 10282   ZZ [ _i ]cgz 13297  SubRingcsubrg 15864  ℂfldccnfld 16703
This theorem is referenced by:  gzrngunitlem  16763  gzrngunit  16764  zrngunit  16765
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-gz 13298  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-subg 14941  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-cnfld 16704
  Copyright terms: Public domain W3C validator