Theorem h1datom 9504

Description: A 1-dimensional subspace is an atom.

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	|- A e. CH
h1datom.2	|- B e. H~

Assertion

Ref	Expression
h1datom	|- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A = (_|_` (_|_` {B})) \/ A = 0H))

Proof of Theorem h1datom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2063	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (x e. A -> x e. (_|_` (_|_` {B}))))
2		eqeq1 1481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = (y .h B) -> (x = 0h <-> (y .h B) = 0h))
3		opreq1 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = 0 -> (y .h B) = (0 .h B))
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B e. H~
5		ax-hvmul0 8880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (B e. H~ -> (0 .h B) = 0h)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (0 .h B) = 0h
7	3, 6	syl6eq 1523	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = 0 -> (y .h B) = 0h)
8	2, 7	syl5bir 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = (y .h B) -> (y = 0 -> x = 0h))
9	8	necon3d 1604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = (y .h B) -> (x =/= 0h -> y =/= 0))
10	9	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. CC /\ x = (y .h B)) -> (x =/= 0h -> y =/= 0))
11		recclt 5715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> (1 / y) e. CC)
12		h1datom.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- A e. CH
13	12	chshi 9097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- A e. SH
14		shmulclt 9087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A e. SH /\ (1 / y) e. CC /\ x e. A) -> ((1 / y) .h x) e. A)
15	13, 14	mp3an1 903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((1 / y) e. CC /\ x e. A) -> ((1 / y) .h x) e. A)
16	15	ex 373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((1 / y) e. CC -> (x e. A -> ((1 / y) .h x) e. A))
17	11, 16	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> (x e. A -> ((1 / y) .h x) e. A))
18	17	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((y e. CC /\ y =/= 0) /\ x = (y .h B)) -> (x e. A -> ((1 / y) .h x) e. A))
19		opreq2 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x = (y .h B) -> ((1 / y) .h x) = ((1 / y) .h (y .h B)))
20		ax-hvmulass 8877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((1 / y) e. CC /\ y e. CC /\ B e. H~) -> (((1 / y) x. y) .h B) = ((1 / y) .h (y .h B)))
21	4, 20	mp3an3 905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((1 / y) e. CC /\ y e. CC) -> (((1 / y) x. y) .h B) = ((1 / y) .h (y .h B)))
22		pm3.26 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> y e. CC)
23	21, 11, 22	sylanc 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> (((1 / y) x. y) .h B) = ((1 / y) .h (y .h B)))
24		recid2t 5736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> ((1 / y) x. y) = 1)
25	24	opreq1d 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> (((1 / y) x. y) .h B) = (1 .h B))
26	23, 25	eqtr3d 1509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> ((1 / y) .h (y .h B)) = (1 .h B))
27		ax-hvmulid 8876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (B e. H~ -> (1 .h B) = B)
28	4, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (1 .h B) = B
29	26, 28	syl6eq 1523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> ((1 / y) .h (y .h B)) = B)
30	19, 29	sylan9eqr 1529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((y e. CC /\ y =/= 0) /\ x = (y .h B)) -> ((1 / y) .h x) = B)
31	30	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((y e. CC /\ y =/= 0) /\ x = (y .h B)) -> (((1 / y) .h x) e. A <-> B e. A))
32	18, 31	sylibd 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((y e. CC /\ y =/= 0) /\ x = (y .h B)) -> (x e. A -> B e. A))
33	32	exp31 376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. CC -> (y =/= 0 -> (x = (y .h B) -> (x e. A -> B e. A))))
34	33	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. CC -> (x = (y .h B) -> (y =/= 0 -> (x e. A -> B e. A))))
35	34	imp 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. CC /\ x = (y .h B)) -> (y =/= 0 -> (x e. A -> B e. A)))
36	10, 35	syld 27	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. CC /\ x = (y .h B)) -> (x =/= 0h -> (x e. A -> B e. A)))
37	36	com3r 35	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. A -> ((y e. CC /\ x = (y .h B)) -> (x =/= 0h -> B e. A)))
38	37	exp3a 375	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. A -> (y e. CC -> (x = (y .h B) -> (x =/= 0h -> B e. A))))
39	38	r19.23adv 1746	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. A -> (E.y e. CC x = (y .h B) -> (x =/= 0h -> B e. A)))
40	4	h1de2ct 9479	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (_|_` (_|_` {B})) <-> E.y e. CC x = (y .h B))
41	39, 40	syl5ib 206	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (x e. (_|_` (_|_` {B})) -> (x =/= 0h -> B e. A)))
42	1, 41	sylcom 51	. . . . . . . . 9 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (x e. A -> (x =/= 0h -> B e. A)))
43	42	r19.23adv 1746	. . . . . . . 8 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (E.x e. A x =/= 0h -> B e. A))
44	12	chne0 9376	. . . . . . . 8 |- (A =/= 0H <-> E.x e. A x =/= 0h)
45	43, 44	syl5ib 206	. . . . . . 7 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A =/= 0H -> B e. A))
46		snssi 2466	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> {B} (_ A)
47		snssi 2466	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. H~ -> {B} (_ H~)
48	4, 47	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- {B} (_ H~
49	12	chssi 9101	. . . . . . . . . 10 |- A (_ H~
50	48, 49	occon2 9162	. . . . . . . . 9 |- ({B} (_ A -> (_|_` (_|_` {B})) (_ (_|_` (_|_` A)))
51	46, 50	syl 10	. . . . . . . 8 |- (B e. A -> (_|_` (_|_` {B})) (_ (_|_` (_|_` A)))
52	12	ococ 9247	. . . . . . . 8 |- (_|_` (_|_` A)) = A
53	51, 52	syl6ss 2107	. . . . . . 7 |- (B e. A -> (_|_` (_|_` {B})) (_ A)
54	45, 53	syl6 22	. . . . . 6 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A =/= 0H -> (_|_` (_|_` {B})) (_ A))
55	54	anc2li 302	. . . . 5 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A =/= 0H -> (A (_ (_|_` (_|_` {B})) /\ (_|_` (_|_` {B})) (_ A)))
56		eqss 2077	. . . . 5 |- (A = (_|_` (_|_` {B})) <-> (A (_ (_|_` (_|_` {B})) /\ (_|_` (_|_` {B})) (_ A))
57	55, 56	syl6ibr 213	. . . 4 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A =/= 0H -> A = (_|_` (_|_` {B}))))
58		df-ne 1587	. . . 4 |- (A =/= 0H <-> -. A = 0H)
59	57, 58	syl5ibr 207	. . 3 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (-. A = 0H -> A = (_|_` (_|_` {B}))))
60	59	necon1ad 1631	. 2 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A =/= (_|_` (_|_` {B})) -> A = 0H))
61		neor 1638	. 2 |- ((A = (_|_` (_|_` {B})) \/ A = 0H) <-> (A =/= (_|_` (_|_` {B})) -> A = 0H))
62	60, 61	sylibr 200	1 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A = (_|_` (_|_` {B})) \/ A = 0H))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  E.wrex 1646   (_ wss 2047  {csn 2409  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   x. cmul 5239   / cdiv 5294  H~chil 8788   .h csm 8790  0hc0v 8791  SHcsh 8797  CHcch 8798  _|_cort 8799  0Hc0h 8804

This theorem is referenced by:  h1datomt 9505

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952  ax-hcompl 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038