Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hcau Structured version   Unicode version

Theorem h2hcau 22482
 Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hc.1
h2hc.2
h2hc.3
h2hc.4
Assertion
Ref Expression
h2hcau

Proof of Theorem h2hcau
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2714 . 2
2 df-hcau 22476 . 2
3 elin 3530 . . . 4
4 ancom 438 . . . 4
5 h2hc.3 . . . . . . . 8
65hlex 22400 . . . . . . 7
7 nnex 10006 . . . . . . 7
86, 7elmap 7042 . . . . . 6
9 nnuz 10521 . . . . . . . 8
10 h2hc.2 . . . . . . . . 9
11 h2hc.4 . . . . . . . . . 10
125, 11imsxmet 22184 . . . . . . . . 9
1310, 12mp1i 12 . . . . . . . 8
14 1z 10311 . . . . . . . . 9
1514a1i 11 . . . . . . . 8
16 eqidd 2437 . . . . . . . 8
17 eqidd 2437 . . . . . . . 8
18 id 20 . . . . . . . 8
199, 13, 15, 16, 17, 18iscauf 19233 . . . . . . 7
20 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . 13
2120adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
229uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . . . 14
23 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . 14
2422, 23sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13
2524anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12
26 h2hc.1 . . . . . . . . . . . . 13
2726, 10, 5, 11h2hmetdval 22481 . . . . . . . . . . . 12
2821, 25, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
2928breq1d 4222 . . . . . . . . . 10
3029ralbidva 2721 . . . . . . . . 9
3130rexbidva 2722 . . . . . . . 8
3231ralbidv 2725 . . . . . . 7
3319, 32bitrd 245 . . . . . 6
348, 33sylbi 188 . . . . 5
3534pm5.32i 619 . . . 4
363, 4, 353bitri 263 . . 3
3736abbi2i 2547 . 2
381, 2, 373eqtr4i 2466 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422  wral 2705  wrex 2706  crab 2709   cin 3319  cop 3817   class class class wbr 4212  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  c1 8991   clt 9120  cn 10000  cz 10282  cuz 10488  crp 10612  cxmt 16686  cca 19206  cnv 22063  cba 22065  cims 22070  chil 22422   cva 22423   csm 22424  cno 22426   cmv 22428  ccau 22429 This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  22501  hhcau  22700 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-cau 19209  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-hvsub 22474  df-hcau 22476
 Copyright terms: Public domain W3C validator