HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hsm Unicode version

Theorem h2hsm 21555
Description: The scalar product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
h2hsm  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)

Proof of Theorem h2hsm
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ( .s
OLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( .s OLD ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
21smfval 21161 . . 3  |-  ( .s
OLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )
3 opex 4237 . . . . 5  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  _V
4 h2h.1 . . . . . . . 8  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
5 h2h.2 . . . . . . . 8  |-  U  e.  NrmCVec
64, 5eqeltrri 2354 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
7 nvex 21167 . . . . . . 7  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V )
98simp3i 966 . . . . 5  |-  normh  e.  _V
103, 9op1st 6128 . . . 4  |-  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  <.  +h  ,  .h  >.
1110fveq2i 5528 . . 3  |-  ( 2nd `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )  =  ( 2nd `  <.  +h  ,  .h  >. )
128simp1i 964 . . . 4  |-  +h  e.  _V
138simp2i 965 . . . 4  |-  .h  e.  _V
1412, 13op2nd 6129 . . 3  |-  ( 2nd `  <.  +h  ,  .h  >. )  =  .h
152, 11, 143eqtrri 2308 . 2  |-  .h  =  ( .s OLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
)
164fveq2i 5528 . 2  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
1715, 16eqtr4i 2306 1  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   <.cop 3643   ` cfv 5255   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   NrmCVeccnv 21140   .s OLDcns 21143    +h cva 21500    .h csm 21501   normhcno 21503
This theorem is referenced by:  h2hvs  21557  axhfvmul-zf  21567  axhvmulid-zf  21568  axhvmulass-zf  21569  axhvdistr1-zf  21570  axhvdistr2-zf  21571  axhvmul0-zf  21572  axhis3-zf  21576  hhsm  21748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-oprab 5862  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-vc 21102  df-nv 21148  df-sm 21153
  Copyright terms: Public domain W3C validator