HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hva Unicode version

Theorem h2hva 21668
Description: The group (addition) operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
h2hva  |-  +h  =  ( +v `  U )

Proof of Theorem h2hva
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . . 4  |-  ( +v
`  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
21vafval 21273 . . 3  |-  ( +v
`  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( 1st `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )
3 opex 4319 . . . . 5  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  _V
4 h2h.1 . . . . . . . 8  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
5 h2h.2 . . . . . . . 8  |-  U  e.  NrmCVec
64, 5eqeltrri 2429 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
7 nvex 21281 . . . . . . 7  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V )
98simp3i 966 . . . . 5  |-  normh  e.  _V
103, 9op1st 6215 . . . 4  |-  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  <.  +h  ,  .h  >.
1110fveq2i 5611 . . 3  |-  ( 1st `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )  =  ( 1st `  <.  +h  ,  .h  >. )
128simp1i 964 . . . 4  |-  +h  e.  _V
138simp2i 965 . . . 4  |-  .h  e.  _V
1412, 13op1st 6215 . . 3  |-  ( 1st `  <.  +h  ,  .h  >. )  =  +h
152, 11, 143eqtrri 2383 . 2  |-  +h  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
164fveq2i 5611 . 2  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
)
1715, 16eqtr4i 2381 1  |-  +h  =  ( +v `  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864   <.cop 3719   ` cfv 5337   1stc1st 6207   NrmCVeccnv 21254   +vcpv 21255    +h cva 21614    .h csm 21615   normhcno 21617
This theorem is referenced by:  h2hvs  21671  axhfvadd-zf  21676  axhvcom-zf  21677  axhvass-zf  21678  axhvaddid-zf  21680  axhvdistr1-zf  21684  axhvdistr2-zf  21685  axhis2-zf  21689  hhva  21859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-fo 5343  df-fv 5345  df-oprab 5949  df-1st 6209  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265
  Copyright terms: Public domain W3C validator