HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hvs Structured version   Unicode version

Theorem h2hvs 22480
Description: The vector subtraction operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
h2h.4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
Assertion
Ref Expression
h2hvs  |-  -h  =  ( -v `  U )

Proof of Theorem h2hvs
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hvsub 22474 . 2  |-  -h  =  ( x  e.  ~H ,  y  e.  ~H  |->  ( x  +h  ( -u 1  .h  y ) ) )
2 h2h.2 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
3 h2h.4 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
4 h2h.1 . . . . 5  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
54, 2h2hva 22477 . . . 4  |-  +h  =  ( +v `  U )
64, 2h2hsm 22478 . . . 4  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)
7 eqid 2436 . . . 4  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
83, 5, 6, 7nvmfval 22125 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( -v `  U )  =  ( x  e.  ~H , 
y  e.  ~H  |->  ( x  +h  ( -u
1  .h  y ) ) ) )
92, 8ax-mp 8 . 2  |-  ( -v
`  U )  =  ( x  e.  ~H ,  y  e.  ~H  |->  ( x  +h  ( -u 1  .h  y ) ) )
101, 9eqtr4i 2459 1  |-  -h  =  ( -v `  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3817   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   1c1 8991   -ucneg 9292   NrmCVeccnv 22063   BaseSetcba 22065   -vcnsb 22068   ~Hchil 22422    +h cva 22423    .h csm 22424   normhcno 22426    -h cmv 22428
This theorem is referenced by:  h2hmetdval  22481  hhvs  22672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-neg 9294  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-hvsub 22474
  Copyright terms: Public domain W3C validator