MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harcl Structured version   Unicode version

Theorem harcl 7531
Description: Closure of the Hartogs function in the ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
harcl  |-  (har `  X )  e.  On

Proof of Theorem harcl
StepHypRef Expression
1 harf 7530 . 2  |- har : _V --> On
2 0elon 4636 . 2  |-  (/)  e.  On
31, 2f0cli 5882 1  |-  (har `  X )  e.  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   Oncon0 4583   ` cfv 5456  harchar 7526
This theorem is referenced by:  harndom  7534  harcard  7867  harsdom  7884  onsdom  7885  harval2  7886  alephon  7952  dfac12lem2  8026  dfac12r  8028  hsmexlem9  8307  hsmexlem6  8313  pwcfsdom  8460  pwfseq  8541  gchhar  8548  gchacg  8549  gchaleph2  8553  hargch  8554  ttac  27109  isnumbasgrplem2  27248  isnumbasabl  27250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-riota 6551  df-recs 6635  df-en 7112  df-dom 7113  df-oi 7481  df-har 7528
  Copyright terms: Public domain W3C validator