Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  harinf Unicode version

Theorem harinf 27127
Description: The Hartogs number of an infinite set is at least  om. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
harinf  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  C_  (har `  S ) )

Proof of Theorem harinf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 4662 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
21adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  On )
3 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  -.  S  e.  Fin )
4 nnfi 7053 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  Fin )
54adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  Fin )
6 sdomdom 6889 . . . . . . 7  |-  ( S 
~<  x  ->  S  ~<_  x )
7 domfi 7084 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  S  ~<_  x )  ->  S  e.  Fin )
87ex 423 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( S  ~<_  x  ->  S  e.  Fin ) )
95, 6, 8syl2im 34 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  ( S  ~<  x  ->  S  e.  Fin ) )
103, 9mtod 168 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  -.  S  ~<  x )
11 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  S  e.  V
)
12 fidomtri 7626 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  S  e.  V )  ->  ( x  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  x ) )
135, 11, 12syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  ( x  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  x ) )
1410, 13mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  ~<_  S )
15 elharval 7277 . . . 4  |-  ( x  e.  (har `  S
)  <->  ( x  e.  On  /\  x  ~<_  S ) )
162, 14, 15sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  (har
`  S ) )
1716ex 423 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( x  e. 
om  ->  x  e.  (har
`  S ) ) )
1817ssrdv 3185 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  C_  (har `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   omcom 4656   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863  harchar 7270
This theorem is referenced by:  ttac  27129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-har 7272  df-card 7572
  Copyright terms: Public domain W3C validator