Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  harinf Structured version   Unicode version

Theorem harinf 27096
Description: The Hartogs number of an infinite set is at least  om. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
harinf  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  C_  (har `  S ) )

Proof of Theorem harinf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 4843 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
21adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  On )
3 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  -.  S  e.  Fin )
4 nnfi 7291 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  Fin )
54adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  Fin )
6 sdomdom 7127 . . . . . . 7  |-  ( S 
~<  x  ->  S  ~<_  x )
7 domfi 7322 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  S  ~<_  x )  ->  S  e.  Fin )
87ex 424 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( S  ~<_  x  ->  S  e.  Fin ) )
95, 6, 8syl2im 36 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  ( S  ~<  x  ->  S  e.  Fin ) )
103, 9mtod 170 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  -.  S  ~<  x )
11 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  S  e.  V
)
12 fidomtri 7872 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  S  e.  V )  ->  ( x  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  x ) )
135, 11, 12syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  ( x  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  x ) )
1410, 13mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  ~<_  S )
15 elharval 7523 . . . 4  |-  ( x  e.  (har `  S
)  <->  ( x  e.  On  /\  x  ~<_  S ) )
162, 14, 15sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  (har
`  S ) )
1716ex 424 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( x  e. 
om  ->  x  e.  (har
`  S ) ) )
1817ssrdv 3346 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  C_  (har `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   Oncon0 4573   omcom 4837   ` cfv 5446    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100   Fincfn 7101  harchar 7516
This theorem is referenced by:  ttac  27098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-recs 6625  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-har 7518  df-card 7818
  Copyright terms: Public domain W3C validator